Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

[Lilien]

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями $x^2+y^2-12z=0, x^2+z^2-12y=0, y=0$
Проблема в следующем: не могу понять по какой области интегрировать. Заданы 2 эллиптических параболоида, была идея найти их пересечение и сделать проекцию на XOY, а далее уже решать в полярных координатах. Но ничего хорошего не получилось) Скажите, я в том направлении мыслю хотя бы? или вообще не то себе представляю?
И, если можно, посоветуйте какой-нибудь учебник/задачник с разобранными примерами на данную тему, математика у меня на самостоятельном изучении(

[ewert]

Обратите внимание, что линия пересечения лежит в плоскости $y=z$. После чего проекцией её на плоскость $XOY$ будет, очевидно, окружность.

А вот зачем добавлен ещё этот не пришей кобыле хвост в виде $y=0$ -- непонятно. Может быть, всё-таки $x=0$?

[gris]

Два параболоида вырезают дркг из друга тело, симметричное относительно плоскости $y-z=0$.
Но зачем дана плоскость $y=0$?
Если у одного из параболоидов взять внешнюю часть, то тело будет неогранниченным.
Зачем дана плоскость $y=0$?

Добавлено спустя 4 минуты 39 секунд:

Ужос. Я правда не видел. Кто-то залез в мой мозг.

[ewert]

gris в сообщении #205572 писал(а):

Кто-то залез в мой мозг.

Ну, я, надо полагать, залез. Но я нечаянно!!

[gris]

Да ладно, располагайтесь.
Просто я довольно быстро набиваю, но проверяю, исправляю. Да ещё начал картинку рисовать. Воображения не хватает.

[Lilien]

фигуру я себе представила верно, и то, что симметрична, относительно $y-z=0$. Проекцией должен быть или круг или эллипс, но почему то у меня получается уравнение 4 степени $\frac {x^4} {144}+\frac {y^2} {144}+\frac {x^2y^2} {72} +x^2-12y=0$
только не говорите, что тут уже безнадёжно всё)

[ewert]

Сначала исключаем из системы уравнений, описывающих параболоиды, переменную $x$ (т.е., собственно, проецируем линию пересечения на плоскость $YOZ$). Получаем уравнение $y=z$ (там есть ещё решение $y+z=-12$, но оно противоречит исходным уравнениям). Потом просто подставляем $z=y$ в любое из исходных уравнений, исключая тем самым из системы переменную $z$.

[gris]

Что, если сделать поворот оси $y$ на 45 градусов? Ну чтобы плоскость $y=0$ перешла в $y=z$.
Перейти к координатам $x;\frac{\sqrt2}2(y-z);\frac{\sqrt2}2(y+z)$. Объёмы то не изменятся.

[Lilien]

спасибо огромное, теперь понятно)

[ewert]

gris в сообщении #205586 писал(а):

Перейти к координатам $x;y-z;y+z$. Объёмы то не изменятся.

Изменятся, кстати. Ровно вдвое.

[gris]

Ой. Забыл умножить на $\frac{\sqrt2}2$...
$x;\frac{\sqrt2}2(y-z);\frac{\sqrt2}2(y+z)$

[Lilien]

а литературу никакую не посоветуете по данной теме? трудностей слишком много) а вы на то, чтобы объяснять мне всё не подписывались)

[gris]

Разумеется, не нужно делать замены. Возьмем поверхность $x^2+y^2=12z$
Найдём пересечение с плоскостью $y=z$:
$x^2+(y-6)^2=36$
Это даст облась интегрирования.
Интегрируем от

$$z=\frac1{12}(x^2+y^2)$$

до $z=y$

При переходе от двойного интеграла к повторному разрежем область интегрирования на 2 части осью $y$.

А учебники обычнае по матанализу.

[Lilien]

не поняла, в случае, если без замены, получается вот такой повторный интеграл:

$$\int_{0}^{\pi}d\varphi \int_{0}^{12cos\varphi} (\rho \sin\varphi-\frac 1 {12} \rho^2 \cos^2\varphi -\rho^2\sin^2\varphi) d\rho$$

?

[ewert]

Да, не считая того, что скобки потеряны.

А соображения симметрии -- некоторое жульничество, но без него в этой задачке, вроде бы и впрямь плохо.