Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

[Lilien]

за скобки простите) и так трудно писать без привычки формулы.
поправила предел интегрирования на $12\cos\varphi$ так кажется вернее, только ммм это получилась половинка объёма, которая с 1 стороны от плоскости $y=z$?

[ewert]

А я даже и не вгляделся в этот предел. Да, 12; только почему косинусов-то?...

Насчёт половинки -- да.

[Lilien]

хм, до косинусов, ммм графически это же до окружности? Я и написала туда уравнение окружности в полярных координатах $R^2=\rho^2+R^2-2\rho R \cos\varphi, R^2$ сократила, и выразила $\rho$
может и напутала что) но мне казалось так
а что там вместо косинусов?

[ewert]

Lilien писал(а):

уравнение окружности в полярных координатах $R^2=\rho^2+R^2-2\rho R \cos\varphi, R^2$ сократила, и выразила $\rho$
может и напутала что)

Это ещё очень мягко сказано! Что это ещё за Эр такое?! И откуда косинус взялся?...

[Lilien]

R- радиус, просто я помню, что когда-то писала уравнение для окружности радиуса 1 и центра (1;0) и оно имело вид $\rho=2\cos\varphi$
кстати, в интеграле общем потеряла $\rho$
Не сердитесь, да я далека от математики, но ведь главное желание

[ewert]

Lilien в сообщении #205681 писал(а):

да я далека от математики,

Как бы ни были Вы далеки от математики, но к делу всё-таки следует подходить сознательно. Т.е. не мучительно вспоминать, какие буковки и когда писали, а просто формально подставлять в исходное уравнение стандартное выражение декартовых координат через полярное. Ведь в подынтегральной-то функции Вы это сделали.

[Алексей К.]

Lilien, Ваш вариант полярного уравнения окружности, проходящей через начало координат, для современного российского обывателя непривычен. Обычно они переносют полюс в центр окружности и пишут более канонично:

$$x=X_{\mbox{центра}} + R\cos\varphi,$$

$$y=Y_{\mbox{центра}} + R\sin\varphi.$$

Не обязательно держать полярный полюс в начале декартовых координат.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #205689 писал(а):

Не обязательно держать полярный полюс в начале декартовых координат.

Но лучше. Иначе несколько запутывается подынтегральная функция.

[Lilien]

ewert писал(а):

а просто формально подставлять в исходное уравнение стандартное выражение декартовых координат через полярное. Ведь в подынтегральной-то функции Вы это сделали.

я с этого и начала, и именно после того, как не смогла нормально выразить то, что там получается, решила написать само уравнение окружности сразу.
Вот что у меня получается, если подставлять: от $-\sqrt{12\rho\sin\varphi-\rho^2\sin^2\varphi}$ до $\sqrt{12\rho\sin\varphi-\rho^2\sin^2\varphi}$ можно ли это высчитывать дальше? то есть подставлять значения $\varphi$? но ведь там в обоих случаях получится 0

[ewert]

Погодите. Какой ещё корень, и вообще о чём это?...

Напишите исходное уравнение окружности в декартовых. И -- параллельно -- связь между декартовыми и полярными.

[Lilien]

нашла ошибку, выражала х, а не у
исходное уравнение окружности $x^2+(y-6)^2=36$ отсюда выражаем $y=\frac1 {12}(x^2+y^2)$
то ли я устала, но уже не понимаю, какой из пределов оно задаёт?

[ewert]

(Ну вообще-то исходное -- это как раз то, что справа, а не слева.)

Что значит -- "какой из пределов"? Это -- уравнение границы. Какой хотите предел отсюда, такой и вытаскивайте.

Подставьте сюда выражения для икса и игрека через ро и фи -- и автоматом получите нужную связь между ро и фи.

[Алексей К.]

исходное уравнение окружности $x^2+(y-6)^2=36$ отсюда выражаем $y=6\pm\sqrt{36-x^2}$ --- вот и пределы. Но лучше, доверяясь ewertу, перейти к полярным координатам. Или попробовать (втихаря) так. Или и правда, отдохнуть.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #205712 писал(а):

Но лучше, доверяясь ewertу, перейти к полярным координатам.

Что значит "доверяясь"? Она ровно так и пыталась делать. Только как-то странно пыталась.

[Lilien]

$\rho\sin\varphi=\frac1 {12}(\rho^2\cos^2\varphi+\rho^2\sin^2\varphi)$ откуда $\rho=12\sin\varphi$
то есть по $\rho$ интеграл будет от 0 до $\rho=12\sin\varphi$, а по $\varphi$ от $\pi$ до 0, мне кажется в таком порядке именно, а не от 0 до $\pi$