Возрастание функции в точке и на интервале

[bull_mipt]

Функция возрастает в точке, если существует некоторая окрестность точки, где функция возрастает.

Функция возрастает на интервале, если для любых х1 и х2 из интервала из неравенства х1>х2, следует f(x1)>f(x2).

Как доказать, что из возрастания в каждой точке интервала следует возрастание на интервале?

Была идея рассмотреть 2 произвольные точки. Берем окрестность меньшей из них и в качестве первой точки последовательности берем правый край интервала. Для этой точки существует своя окрестность, имеющая ненулевое пересечение с окрестностью исходной точкой. И т.д.

Возникает проблема, что предел этой монотонной последовательности меньше большей из 2 точек. Получается, приходится повторять то же и для предельной точки и т.д. Как показать, что большая точка в конце концов будет достигнута (если все рассуждения правильные)?

[ewert]

ну например по лемме Гейне-Бореля. Окружите каждую точку промежутка $[x_1,x_2]$ окрестностью, в которой функция заведомо возрастает. И выберите из этого открытого покрытия конечное подпокрытие.

[bull_mipt]

Извините, не совсем понял. Можно чуть подробнее?

[ewert]

Ну тут терминология плавает. В любом случае справедливо такое утверждение: если ограниченное замкнутое множество в конечномерном пространстве содержится в некотором объединении открытых множеств, то можно выбрать некоторый конечный поднабор этих множеств, объединение которых тоже содержит в себе то самое множество.

[bull_mipt]

А как доказать аккуратно, что покрыть отрезок окрестностями возрастания можно?

[ewert]

Окрестностями вообще? Не надо доказывать. Просто выбираем для каждой точки окрестность (по Вашим же словам, существующую), в которой функция гарантированно возрастает.

[bull_mipt]

Точно! Спасибо большое, понял.

[ewert]

Кстати, мне больше нравится другой вариант "возрастания в точке". Будем говорить, что функция $f$ возрастает в точке $x$, если $f(x+h)>f(x)$ и $f(x-h)<f(x)$ при всех достаточно малых положительных $h$. Доказательство -- ровно такое же.

[VAL]

ewert в сообщении #205250 писал(а):

Кстати, мне больше нравится другой вариант "возрастания в точке". Будем говорить, что функция $f$ возрастает в точке $x$, если $f(x+h)>f(x)$ и $f(x-h)<f(x)$ при всех достаточно малых положительных $h$.

А не подскажете солидные книжки, где принимается именно такое определение.
Мне (последний раз прикасавшемуся к мат. анализу более тридцати лет назад) припоминается определение из первого поста этой темы. А они, очевидно, не равносильны.

Спрашиваю, потому что меня спросили: как правильно?
По-моему, как договоримся, так и правильно. Но как сейчас принято договариваться, я не в курсе.

[gris]

Мне кажется, что определение ewertа более естественно. Существует интервал, в котором слева значения функции меньше, а справа больше, чем посередине. Требование возрастания в каждой точке даже малого интервала накладывает бОльшие ограничения на функцию.
Я, конечно, может быть и скорее всего, наверняка зря влез в умный разговор, но у меня сразу встала перед глазами синяя обложка книги К-Ф по функану. Если рисуночек слегка поджать и повернуть, то получится функция явно возрастающая в средней точке, а она не возрастает ни на одном интервеле.

[VAL]

gris в сообщении #353166 писал(а):

Если рисуночек слегка поджать и повернуть, то получится функция явно возрастающая в средней точке, а она не возрастает ни на одном интервеле.

Книжечку не видел. Но пример функции, возрастающей (в смысле определения Ewert'а) ровно в одной точке привести не сложно. Достаточно доопределить $f(x)=\frac1x$ в нуле, положив $f(0)=0$.
Вопрос же мой был: насколько в ходу такое определение.

[gris]

Ваша функция разрывна, хотя это и не важно.
Например, в БСЭ именно такое определение возрастания в точке.

http://www.math.com/tables/derivatives/extrema.htm:
Definition of an increasing function: A function $f(x)$ is "increasing" at a point $x_0$ if and only if there exists some interval $I$ containing $x_0$ such that $f(x_0) > f(x)$ for all $x$ in $I$ to the left of $x_0$ and $f(x_0) < f(x) $for all $x$ in $I$ to the right of $x_0$.

[VAL]

gris в сообщении #353208 писал(а):

Ваша функция разрывна, хотя это и не важно.

Надо же! А я и не заметил! :)
А если серьезно: разве подобный пример (с возрастанием ровно в одной точке) возможен для непрерывной функции?

Цитата:

Например, в БСЭ именно такое определение возрастания в точке.

http://www.math.com/tables/derivatives/extrema.htm:
Definition of an increasing function: A function $f(x)$ is "increasing" at a point $x_0$ if and only if there exists some interval $I$ containing $x_0$ such that $f(x_0) > f(x)$ for all $x$ in $I$ to the left of $x_0$ and $f(x_0) < f(x) $for all $x$ in $I$ to the right of $x_0$.

А это точно БСЭ?

[ИСН]

$x\cdot\left(1+\sin{1\over x}\right)$

[gris]

Вот о том примере с обложки я и говорил. Ну можно и так:
$f(x)=x+\dfrac x 9 \cdot \sin \dfrac 1x$ доопределённую нулём в нуле.
До нуля функция отрицательна, после нуля положительна. При этом она омерзительно трясётся.
Если вместо синуса взять какую-нибудь функцию Гельбаума , непрерывную, ограниченную и немонотонную ни на одном интервале, то получим то, что Вы хотите.

Вотъ: $f(x)=x+x\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin nx^2}{2^n}$

Ссылку на БСЭ я не дал по своему неумению изображать в адресе кириллицу:
[url]http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/75457/Возрастание[/url]
Может быть удастся посмотреть?
А ссылка на англоязычный ресурс, конечно, просто для того, чтобы показать, что и они тоже знают об этом определении.
Вообще, я не помню, чтобы в известных учебниках даже как-то определялось возрастание в точке. Сегодня посмотрю повнимательнее. Вроде бы у Стечкина так определяется, но у меня нет учебника.
У Фихтенгольца возрастание на интервале, у Зорича - на множестве, в котором больше одной точки.

Кроме того, непонятно, где это вообще используется.