Возрастание функции в точке и на интервале

[VAL]

ИСН в сообщении #353275 писал(а):

$x\cdot\left(1+\sin{1\over x}\right)$

А в нуле - ноль, конечно?
Правда, эта функция не возрастает (только не убывает) в нуле. Но в принципе ясно, как ее поправить, чтобы возрастала. Более того gris это уже сделал.

Но все же это не совсем то, в существование чего я не верю.
В ваших с gris'ом примерах функция возрастает в изолированной точке, не принадлежащей никакому промежутку возрастания. А у меня в единственной точке области определения.

-- 17 сен 2010, 10:31 --

gris в сообщении #353276 писал(а):

Вот о том примере с обложки я и говорил. Ну можно и так:
$f(x)=x+\dfrac x 9 \cdot \sin \dfrac 1x$ доопределённую нулём в нуле.
До нуля функция отрицательна, после нуля положительна. При этом она омерзительно трясётся.
Если вместо синуса взять какую-нибудь функцию Гельбаума , непрерывную, ограниченную и немонотонную ни на одном интервале, то получим то, что Вы хотите.

Вотъ: $f(x)=x+x\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin nx^2}{2^n}$

То есть, все же зря не верю! Спасибо!

Цитата:

Вообще, я не помню, чтобы в известных учебниках даже как-то определялось возрастание в точке. Сегодня посмотрю повнимательнее. Вроде бы у Стечкина так определяется, но у меня нет учебника.
У Фихтенгольца возрастание на интервале, у Зорича - на множестве, в котором больше одной точки.

По непроверенным данным так определяют Ильин В.А., В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов Математический анализ. На-чальный курс: В 3-х т. Т.1. – М.: Изд-во МГУ, 1985. – 425 с.
Но у меня ни одного тома нет :)

[ewert]

ИСН в сообщении #353275 писал(а):

$x\cdot\left(1+\sin{1\over x}\right)$

Это не ровно в одной точке. Но чуть-чуть подуродовав какую-нибудь нигде не дифференцируемую функцию типа Ван-дер-Вардена -- наверное, можно получить, чего хочется.

[ewert]

VAL в сообщении #353284 писал(а):

gris в сообщении #353276 писал(а):

Вотъ: $f(x)=x+x\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin nx^2}{2^n}$

То есть, все же зря не верю! Спасибо!

Хм. А что, всюду дифференцируемая функция может быть нигде не монотонной?...

Это во-первых. А во-вторых (независимо от первого) не факт, что всё так уж просто. Не уверен, что из нигде не монотонности функции $f(x)$ так уж сразу следует нигде не монотонность (вне нуля, разумеется) функции $x\cdot f(x)$, и даже что вообще следует. Боюсь, что поковыряться в животике этой функции всё-таки придётся.

[gris]

Синус, разумеется, надо понимать как "огрублённый синус", то есть как синусообразную ломаную пилу.
Да и вообще непонятно, какую функцию надо построить.

[ewert]

gris в сообщении #353779 писал(а):

Синус, разумеется, надо понимать как "огрублённый синус",

Ну вот так честно и сказали бы. Я, например, конкретно такого Гелбаума не слыхал. И даже не уверен, что он правилен.

Но дело не в этом. В конце концов, в существовании нигде не монотонных функций никто не сомневается. Но это не отменяет второго вопроса.

----------------------
Тыпс, поправка. Перечитал Гелбаума. Оказывается, у него нигде не монотонность понималась совсем в другом смысле, существенно более слабом. Ну тем паче.