2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Расстояние Хаусдорфа для аппроксимирующего множества Кантора
Сообщение12.04.2009, 15:58 
приветствую достойное собрание!

волею судьбы случилось так, что я заканчиваю ВУЗ по специальности "Программное обеспечение", и вот под конец учёбы появился у меня такой предмет, как "Синергетика для программистов"
хуже всего для меня то, что там сплошная математика, которую я очень люблю и уважаю, но всегда как бы издалека :)
однако со всеми заданиями я справился, кроме одного, последнего:

Найти расстояние Хаусдорфа h(С_1,C), где C_1 - аппроксимирующее множество классического множества Кантора C

До чего додумался я сам:

h(C_1,C) = max\{d(C_1,C),d(C,C_1)\},
при этом
d(C_1,C) = max\{d(x,C)|x \in C_1\}
d(C,C_1) = max\{d(x,C_1)|x \in C\}

а вот дальше - увы, тупик... в методичке по предмету ничего дальше не написано, и в сети я подобных примеров не нашёл.
прошу вас, подскажите, где посмотреть, в какую сторону подумать?

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 17:17 
Аватара пользователя
webwolf в сообщении #204296 писал(а):
где C_1 - аппроксимирующее множество классического множества Кантора C
Если бы еще знать, что такое аппроксимирующее множество....

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 19:55 
собственно, ответ здесь

в данном случае С_1 это объединение двух отрезков [0;1/3] и [2/3;1]

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 20:02 
Аватара пользователя
Тогда расстояние равно 1, поскольку 0 находится в одном из множеств, а 1 - в другом.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 20:57 
Brukvalub, и 0, и 1 находятся в обоих множествах. Думаю, Вы не заметили в определении слова "$\min$", а оно там есть - в определении $d(x,C)$.

 
 
 
 
Сообщение12.04.2009, 21:07 
Аватара пользователя
Да, не заметил. :oops: Я почему-то вообразил себе, что это какое-то особое расстояние.
Попробую еще раз: расстояние равно $\frac{1}{{18}}$.

 
 
 
 
Сообщение13.04.2009, 01:42 
спасибо всем, принявшим участие в дискуссии!

на одном из форумов мне было без каких-либо объяснений сказано, что h(С_1, C) = 1/3 , даже приводят формулу h(С_n, C) = 1-(2/3)^n

Вы говорите, что 1/18...

ещё я нашёл такую информацию, что d(x,C) = inf \{||x-y||:y \in R^n\}, где ||x-y|| - евклидово расстояние. Кажется, об этом Вы уже говорили здесь.

ну и вот такая ссылочка ещё есть :
http://fractalworld.xaoc.ru/article2/metric5/index.html

советуют воспользоваться из неё теоремой 2, а также определениями 1 и 2, да только я никак не пойму - как...

может быть, Вы объясните мне как можно проще, уважаемые знатоки! очень хочется не просто решить и забыть, но разобраться для себя! уже книги по теории систем итерированных функций читаю... :shock:

 
 
 
 Подробнее насчёт $h(C_1,C)$
Сообщение13.04.2009, 02:39 
Ту величину $d$, которую Вы написали в определении метрики Хаусдорфа, лучше обозвать по-другому (пусть будет $d'$), так как буквой $d$ чаще обозначают "обычное расстояние между множествами" (оно же "минимальное расстояние между множествами", оно же "расстояние-инфимум"), которое Вы упоминаете в последнем сообщении.

Вычислим $h(C_1,C)$. Ясно, что $d'(C,C_1)=0$, так как $C\subset C_1$. Осталось вычислить $d'(C_1,C)$, то есть найти во множестве $C_1$ точку, максимально удалённую от множества $C$. Подозреваю, что это точка $1/6$. А ближайшая к ней точка из $C$ - это $1/9$. Следовательно, $d'(C_1,C)=1/6-1/9=1/18$. Результат тот же, что у Brukvalubа, так что можно считать его верным.

Как строго доказать, что любая точка из $C_1$ находится на расстоянии $\le1/18$ от $C$? Идея следующая: $C_1$ состоит из двух сегментов, и если разбить каждый из них на три части, то полученные точки принадлежат $C$.

webwolf, Вам осталось додумать рассуждения и обобщить вычисления на случай произвольного $n$.

 
 
 
 Re: Расстояние Хаусдорфа для аппроксимирующего множества Кантора
Сообщение14.08.2009, 07:28 
Всем доброе утро!
У меня практически такое же задание, но вместо С1 у меня С2.
С2 я нашла, а что делать дальше никак не могу разобраться, ссылки данные в этой теме отсутствуют.
Помогите плиз...(хотя бы ссылками на информацию)

 
 
 
 Re: Расстояние Хаусдорфа для аппроксимирующего множества Кантора
Сообщение14.08.2009, 09:38 
В этой теме в первом сообщении приведены все необходимые определения.
Какие еще могут быть трудности?

 
 
 
 Re: Расстояние Хаусдорфа для аппроксимирующего множества Кантора
Сообщение14.08.2009, 12:13 
расстояние Хаусдорфа вот именно с этим определением мне не понятно, хотелось бы более подробную инфу.

 
 
 
 Re: Расстояние Хаусдорфа для аппроксимирующего множества Кантора
Сообщение14.08.2009, 22:46 
Что тут может быть непонятного? Вы не знаете, что такое минимум и/или максимум?

Для решения этой задачи ничего, кроме этих базовых определений, знать не нужно.

Просто рисуете рисуночек, смотрите, какое будет от разных точек расстояние до нашего канторова множества расстояние, соображаете, где оно будет наибольшим, потом то же самое для аппроксимирующего множества, и берёте большее из двух. Тут даже математики-то нет :?

Ну вот в первом сообщении ссылка в википедию, там по-подробнее написано.

 
 
 
 Re: Расстояние Хаусдорфа для аппроксимирующего множества Кантора
Сообщение17.08.2009, 12:38 
У меня получается ответ 16/18=8/9 верно?

 
 
 
 Re: Расстояние Хаусдорфа для аппроксимирующего множества Кантора
Сообщение17.08.2009, 13:01 
Многовато будет.

На то они и аппроксимирующие множества, чтобы каждое следующее было ближе к Канторовому, чем предыдущее.

 
 
 
 Re: Расстояние Хаусдорфа для аппроксимирующего множества Кантора
Сообщение19.08.2009, 13:31 
h(C2,C)<=1/54?

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group