Расстояние Хаусдорфа для аппроксимирующего множества Кантора

[webwolf]

приветствую достойное собрание!

волею судьбы случилось так, что я заканчиваю ВУЗ по специальности "Программное обеспечение", и вот под конец учёбы появился у меня такой предмет, как "Синергетика для программистов"
хуже всего для меня то, что там сплошная математика, которую я очень люблю и уважаю, но всегда как бы издалека
однако со всеми заданиями я справился, кроме одного, последнего:

Найти расстояние Хаусдорфа h(С_1,C), где C_1 - аппроксимирующее множество классического множества Кантора C

До чего додумался я сам:

h(C_1,C) = max\{d(C_1,C),d(C,C_1)\},
при этом
d(C_1,C) = max\{d(x,C)|x \in C_1\}
d(C,C_1) = max\{d(x,C_1)|x \in C\}

а вот дальше - увы, тупик... в методичке по предмету ничего дальше не написано, и в сети я подобных примеров не нашёл.
прошу вас, подскажите, где посмотреть, в какую сторону подумать?

[Brukvalub]

webwolf в сообщении #204296 писал(а):

где C_1 - аппроксимирующее множество классического множества Кантора C

Если бы еще знать, что такое аппроксимирующее множество....

[webwolf]

собственно, ответ здесь

в данном случае С_1 это объединение двух отрезков [0;1/3] и [2/3;1]

[Brukvalub]

Тогда расстояние равно 1, поскольку 0 находится в одном из множеств, а 1 - в другом.

[AD]

Brukvalub, и 0, и 1 находятся в обоих множествах. Думаю, Вы не заметили в определении слова "$\min$", а оно там есть - в определении $d(x,C)$.

[Brukvalub]

Да, не заметил. Я почему-то вообразил себе, что это какое-то особое расстояние.
Попробую еще раз: расстояние равно $\frac{1}{{18}}$.

[webwolf]

спасибо всем, принявшим участие в дискуссии!

на одном из форумов мне было без каких-либо объяснений сказано, что h(С_1, C) = 1/3 , даже приводят формулу h(С_n, C) = 1-(2/3)^n

Вы говорите, что 1/18...

ещё я нашёл такую информацию, что d(x,C) = inf \{||x-y||:y \in R^n\}, где ||x-y|| - евклидово расстояние. Кажется, об этом Вы уже говорили здесь.

ну и вот такая ссылочка ещё есть :
http://fractalworld.xaoc.ru/article2/metric5/index.html

советуют воспользоваться из неё теоремой 2, а также определениями 1 и 2, да только я никак не пойму - как...

может быть, Вы объясните мне как можно проще, уважаемые знатоки! очень хочется не просто решить и забыть, но разобраться для себя! уже книги по теории систем итерированных функций читаю...

[Егор]

Ту величину $d$, которую Вы написали в определении метрики Хаусдорфа, лучше обозвать по-другому (пусть будет $d'$), так как буквой $d$ чаще обозначают "обычное расстояние между множествами" (оно же "минимальное расстояние между множествами", оно же "расстояние-инфимум"), которое Вы упоминаете в последнем сообщении.

Вычислим $h(C_1,C)$. Ясно, что $d'(C,C_1)=0$, так как $C\subset C_1$. Осталось вычислить $d'(C_1,C)$, то есть найти во множестве $C_1$ точку, максимально удалённую от множества $C$. Подозреваю, что это точка $1/6$. А ближайшая к ней точка из $C$ - это $1/9$. Следовательно, $d'(C_1,C)=1/6-1/9=1/18$. Результат тот же, что у Brukvalubа, так что можно считать его верным.

Как строго доказать, что любая точка из $C_1$ находится на расстоянии $\le1/18$ от $C$? Идея следующая: $C_1$ состоит из двух сегментов, и если разбить каждый из них на три части, то полученные точки принадлежат $C$.

webwolf, Вам осталось додумать рассуждения и обобщить вычисления на случай произвольного $n$.

[Ninok]

Всем доброе утро!
У меня практически такое же задание, но вместо С1 у меня С2.
С2 я нашла, а что делать дальше никак не могу разобраться, ссылки данные в этой теме отсутствуют.
Помогите плиз...(хотя бы ссылками на информацию)

[AD]

В этой теме в первом сообщении приведены все необходимые определения.
Какие еще могут быть трудности?

[Ninok]

расстояние Хаусдорфа вот именно с этим определением мне не понятно, хотелось бы более подробную инфу.

[AD]

Что тут может быть непонятного? Вы не знаете, что такое минимум и/или максимум?

Для решения этой задачи ничего, кроме этих базовых определений, знать не нужно.

Просто рисуете рисуночек, смотрите, какое будет от разных точек расстояние до нашего канторова множества расстояние, соображаете, где оно будет наибольшим, потом то же самое для аппроксимирующего множества, и берёте большее из двух. Тут даже математики-то нет

Ну вот в первом сообщении ссылка в википедию, там по-подробнее написано.

[Ninok]

У меня получается ответ 16/18=8/9 верно?

[AD]

Многовато будет.

На то они и аппроксимирующие множества, чтобы каждое следующее было ближе к Канторовому, чем предыдущее.

[Ninok]

h(C2,C)<=1/54?