2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Подгруппа C*, состоящая из 16 элементов
Сообщение04.04.2009, 22:04 
Здравствуйте! Подскажите, как решить задачу:

Докажите, что существует только одна подгруппа группы $\mathbb{C}^*$$, состоящая из 16 элементов.
($\mathbb{C}^*$$ - группа комплексных чисел относительно умножения)

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 22:13 
Аватара пользователя
Давайте начнем с конца. Какая это будет подгруппа?

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 22:35 
Аватара пользователя
Xaositect в сообщении #202007 писал(а):
Давайте начнем с конца. Какая это будет подгруппа?
Еще "концовее" - каковы модули всех элементов группы?

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 22:54 
Xaositect
нормальная
Brukvalub
Любые, кроме 0

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 22:57 
Niclax
А Вы возьмите сколь угодно длинную композицию элемента с модулем более ( или менее ) единицы, будет ли группа конечной?

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 23:04 
Аватара пользователя
Niclax в сообщении #202020 писал(а):
Xaositect
нормальная

Конкретнее
Какие 16 комлексных чисел эту группу будут составлять?

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 23:12 
Xaositect
Думаю, корни из 1.

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 23:21 
Niclax писал(а):
Xaositect
Думаю, корни из 1.

Вот Вы и решили задачку.
Правда, с точностью до известного утверждения: конечная мультипликативная группа поля - циклическая.
А оно доказывается не так уж, чтобы сосвем просто.
Но зато доказательство можно найти во многих книжках по алгебре.

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 23:36 
Аватара пользователя
VAL в сообщении #202030 писал(а):
Правда, с точностью до известного утверждения: конечная мультипликативная группа поля - циклическая.

А зачем здесь это? Достаточно того, что для конечных групп $a^{|G|} = 1$

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 23:45 
А как из этого вытекает единственность подгруппы?

 
 
 
 
Сообщение04.04.2009, 23:49 
Аватара пользователя
Niclax в сообщении #202042 писал(а):
А как из этого вытекает единственность подгруппы?

А самому подумать?
Надо доказать: Подгруппа из 16 элементов единственна.
Мы нашли одну подгруппу из 16 элементов - подгруппу корней из единицы 16-й степени $C_{16}$.
То есть надо доказать: любая подгруппа из 16 элементов - $C_{16}$
А если это немного переформулировать, то
Любой элемент подгруппы из 16 элементов - корень из единицы шестнадцатой степени.

 
 
 
 
Сообщение05.04.2009, 11:28 
Между прочим, задачи с коллоквиума стоит решать самому. А то Зильберборд может обидеться.

(пояснение - эту задачу я лично выдавал человеку позавчера на коллоквиуме).

Влад.

 
 
 
 
Сообщение05.04.2009, 16:22 
Xaositect писал(а):
VAL в сообщении #202030 писал(а):
Правда, с точностью до известного утверждения: конечная мультипликативная группа поля - циклическая.

А зачем здесь это? Достаточно того, что для конечных групп $a^{|G|} = 1$


Я бы Вам ответил, почему этого недостаточно, но мне vlad239 не разрешает :)

 
 
 
 
Сообщение05.04.2009, 16:49 
Аватара пользователя
VAL в сообщении #202195 писал(а):
$a^{|G|} = 1$

Я бы Вам ответил, почему этого недостаточно, но мне vlad239 не разрешает Smile

Ну давайте тогда подождем, и Вы мне объясните.
Просто я в своих рассуждениях ошибки не вижу.

 
 
 
 
Сообщение05.04.2009, 17:46 
Её и нет. Этого более чем достаточно для единственности, для существования же -- достаточно вполне элементарных сведений.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group