Задачи на элементарную вероятность

[--mS--]

ewert писал(а):

Мне кажется, что дело тут в том, что "независимость" не обладает никакими структурными свойствами. Ну типа -- транзитивностью: из независимости А и В, а также В и С вовсе не следует независимость А и С. Потому и вводить какое-то спецобозначение для настолько частного (пусть и важного) понятия как-то не хочется.

И ещё, по-моему, дело в том, что гораздо чаще приходится иметь дело с независимостью нескольких (вплоть до последовательности), а не двух величин, а в таком случае какой-либо значок вставить совершенно некуда, разве что писать что-то вроде $IND(\xi_1,\,\xi_2,\,\ldots)$

neu4 писал(а):

Некая община регулирует рождаемость детей следующим своеобразным способом: каждая пара родителей продолжает рожать детей до тех пор, пока не родится сын. Как только это случится, дальнейшее прибавление в семье прекращается. Каково соотношение между мальчиками и девочками в общине, если в обычных условиях, когда рождаемость никак не регулируется, 51% родившихся детей – мальчики?

neu4, а сами-то Вы что по поводу этой задачки думаете?

[gris]

Задача про общину формально лёгкая, но к реальности даже при куче оговорок отношения не имеет. Я думаю, ув. Архипов разнёс бы её в пух и прах, если бы обратил внимание.

И тут дело не в том, могут ли существовать такие общины или что кого считать ребёнком. Задача претендует на псевдореалистичность. Даже коэффициент рождаемости взят из жизни. Но в таких общинах на выживание ребёнка до определённого возраста, а именно это определяет гендерное соотношение, влияют и другие факторы, гораздо более сильные, чем коэффициент рождаемости.

Не важен ни цвет шлюпки, ни размер её, поскольку ими можно пренебречь, а здесь студентов приучают пренебрегать существенными факторами.

Уж лучше бы шарики вынимали из коробки. Предлагаю решительно осудить эту задачу и решить следующую, изоморфную.

Некий человек подходит к доске и пишет строку из 0 и 1, выбирая каждую цифру с вероятностью 1/2. При появлении первой единицы (дисклаймер из соображений политкорректности - всякую намёк на связь значения цифры с полом ребёнка отвергается с праведным негодованием.) человек начинает новую строку.
Вопрос 1: какова доля единиц на исписанной вдоль и поперёк доске?
Вопрос 2: Изоморфна ли эта постановка предыдущей?

[ewert]

Была бы почти изоморфной, если бы разные строчки писали разные люди. А так -- нет.

[gris]

А какая разница. Ну пусть к доске выстроилась толпа народу и каждый подкидывает монетку и пишет свои строчки. Как написал 1, то отходи.

[ewert]

Очень большая разница.

Условность в первой задаче связана вовсе не со смертностью -- она как раз не имеет значения. Достаточно уточнить формулировку: " количества родившихся мальчиков и девочек". Не очень принципиально и то, что предполагается возможность неограниченного количества рождений: при соотношении фифти-фифти цепочки в среднем не будут слишком длинными и с хорошей токностью укладываться во вполне разумную границу типа 10 детей на семью.

А вот какая идеализация действительно принципиальна: следующие рождения не являются независимыми от предыдущих. Можно, например, рассмотреть такую модель: первый ребёнок рождается действительно с вероятностью 1/2 (в среднем по семьям!), а вот при каждом следующем рождении после девочки с вероятностью 70% появляется снова девочка, и аналогично для мальчиков. В зависимости от генетической предрасположенности, или там образа жизни данной семьи -- причины не имеют значения.

Так вот, с крестиками-ноликами -- ровно та же история. Одним товарищам (физиологически или ещё почему) приятнее рисовать нолики, другим -- единички. А в среднем -- пофиг. Но -- только если рисуют разные люди. Если же кто-то один, то у него и предпочтения вполне определённые.

[gris]

Упс. Если мы рассмотрим долю родившихся мальчиков, то она будет равна в точности 0,51, вне зависимости от обычаев общины. Смертность не имеет значения? Хехе... Это уж от остальных обычаев общины зависит. Может быть это община амазонок.

Так и с цифрами. Я же упомянул, что чел подбрасывает монетку.

Как и с рождениями, так и с монетками датчик случайных чисел работает непрерывно и независимо от предыдущих случаев.

Это как с вероятностью о выпадения орла после десяти решек. Простак думает, что уж на этот раз точно выпадет орёл. Хитрец понимает, что с монеткой что-то не то. А математик хладнокровно подбрасывает свою монетку.

[ewert]

gris в сообщении #204726 писал(а):

Если мы рассмотрим долю количества родившихся мальчиков, то она будет равна в точности 0,51, вне зависимости от обычаев общины.

Нет. При данных правилах игры (в предположении независимости) доля мальчиков будет 0.51, если вероятность рождения мальчика примерно 0.294. А если эта вероятность равна 0.51, то доля мальчиков составит примерно 0.701.

[gris]

Немного поправил там, про амазонок

Нет научных данных, за исключением народных примет, что вероятность рождения мальчика у средней женщины и среднего мужчины зависит от пола предыдущих детей и состояния международной обстановки. По крайней мере, в задаче они не озвучены.

Примем вероятность рождения мальчика за 1/2. Предположим, рожают каждый год, пока не родится мальчик, причём все пары. Потом стоп. Предположим все дети растут здоровенькими.

Предположим, что пар приблизительно $N$.
За первый год родится примерно $N/2$ мальчиков и $N/2$девочек.
За второй около $N/4$ мальчиков и $N/4$девочек.
За за третий в районе $N/8$ мальчиков и $N/8$девочек.
Ну и так далее...

Работает ли это расцуждение?

Но вначале у меня как будто голос в голове говорил:
у половины семей доля мальчиков 1, у четверти 1/2, у восьмой части 1/3, у шестнадцатой 1/4. Перемножь... Перемножь... Сложи...Сложи... Но я себя осенил, как мог, и всё прошло.
PS. теперь я знаю, чей это был голос.

Убедительно прошу г-на Архипова истолковать!!!

[ewert]

gris в сообщении #204738 писал(а):

у половины семей доля мальчиков 1, у четверти 1/2, у восьмой части 1/3, у шестнадцатой 1/4. Перемножь... Перемножь... Сложи...Сложи... Но я себя осенил, как мог, и всё прошло

Ой напрасно прошло. Грубо говоря, ровно так и надо делать. Ответ: если вероятность рождения мальчика $p$, то доля мальчиков ${p\over p-1}\,\ln p.$
(Если, конечно, в арифметике чего не напутал, но результат вполне соответствует здравому смыслу.)

[gris]

Возьмём одну семью, решившую рожать до первого мальчика. Определим матожидание доли мальчиков:

$$p+\frac{(1-p)p}{2}+\frac{(1-p)^2p}{3}+...\frac{(1-p)^ip}{i+1}+...$$

$$\frac p{1-p}((1-p)+\frac{(1-p)^2}{2}+\frac{(1-p)^3}{3}+...\frac{(1-p)^i}{i}+...)$$

Напоминает вчерашний ряд

Посчитаем...

$$\frac p{1-p}\sum\limits_{i=1}\frac {(1-p)^i}{i}=\frac p{1-p}\int\sum\limits_{i=0}x^idx\big |_{x=1-p}=\frac p{1-p}\int\frac1{1-x}dx\big |_{x=1-p}=\frac {-p}{1-p}\ln p$$

Да... Демография, однако...

То есть если р=1/2, то средняя доля мальчиков в семье, которая так сказать отстрелялась, будет равна $\ln 2$.
Если предположить, что община стартовала с чистого листа, то при достаточно жёстком принуждении к детопроизводству через некоторое время ситуация устаканится и практически все детные семьи будут иметь по одному мальчику плюс некоторое количество девочек, которое в среднем равно 0,43. В среднем почти полтора ребёнка на семью.

Но какое-то сомнение точит мой мозг... Если община существует достаточно долго, то постоянно появляются новые семьи и есть определённая доля семей, которая ещё будет рожать детей. Впрочем, с двукратным перевесом мужиков община долго не просуществует.

[Архипов]

gris в сообщении #204759 писал(а):

То есть если р=1/2, то средняя доля мальчиков в семье, которая так сказать отстрелялась, будет равна .
Если предположить, что община стартовала с чистого листа, то при достаточно жёстком принуждении к детопроизводству через некоторое время ситуация устаканится и практически все детные семьи будут иметь по одному мальчику плюс некоторое количество девочек, которое в среднем равно 0,43. В среднем почти полтора ребёнка на семью.

А если так считать?
Есть исходное количество семей 1024. Пусть рожают ежегодно, количество рожениц на следующий год остается пропорционально вероятности рождения девочек (0,5):
512 д + 512 м - в 1-ый год
256 д + 256 м - во 2-ой год
128 д + 128 м - в 3-ой год
64 и 64
32 и 32
16 и 16
8 и 8
4 и 4
2 и 2
1 д + 1м - в 10-ый год.
Девочек и мальчиков родили по 1024, всего 2048 детей, по 2 на семью. 512 семей имеют по 1 ребенку, одна мать-героиня ( родит 10 либо 11 девочек и 1 мальчика).
Если математическое ожидание не оправдается в очередной год, например, то
68 д + 60 м - девочек в итоге больше, чем мальчиков, на 8
34 д + 34 м - поровну,
14 д + 20 м - мальчиков в итоге меньше на 2, чем девочек
7 д + 7 м. - опять поровну.

[gris]

Ув. Архипов!
Вот и мне так кажется. завтра напишу одну задачку в отдельной теме, очень прошу Вас посмотреть.

А по поводу этой задачи скажу так: средняя доля мальчиков в семье не имеет отношения к доле мальчиков в общине в целом. Доля мальчиков будет 0.51.
Я хоть немножко похож на Галилея?

[tikho]

Брошено три игральные кости. Определить вероятность того, что на двух из них выпало одинаковое число очков!
C

$$^2_6$$

надо поделить на 36 (общее число исходов), проверьте пожалуйста мое решение???

[gris]

Вы повторяетесь.И сами никакого участия в решении не принимаете. Ну хотя даёте затравку для интересного (для других) разговора

gris писал(а):

Я призываю пользоваться условными вероятностями.

Первая кость бросается, как угодно. Бросим вторую. С вероятностью 1/6 на ней выпадет такое же количество очков, как на первой. Тогда третья может выпадать как угодно. Либо на второй с вероятностью 5/6 выпадает другое количество очков. Тогда уж извольте третью бросить так, чтобы на ней выпали очки, совпадающие с одним из двух уже выпавших. Вероятность этого 2/6.
А общая вероятность 1/6+10/36=2/9. ( Выпадение трёх одинаковых включается)

[tikho]

В библиотеке имеется техническая и художественная литература. Вероятность любого взять техническую книгу равно 0,7;художественную - 0,3. Определить вероятность того,что 5 читателей возьмут только художественные книги.
Я определил:0,35
Случайная величина X - число художественных книг из 5 в предыдущей задаче.Найти:1)ряд распределения
Подскажите пожалуйста как найти ряд распределения!!!!
мне не понятно что здесь является числом возможных исходов опыта и числом исходов, благоприятствующих каждому значению случайной величины????