предел мнимой части функции (updated)

[lenok.marshal]

как посчитать предел

простите, в прошлом сообщении обозначения выбрала не совсем удачно

$$f(x)=-\frac{1}{\pi}\lim\limits_{\epsilon \to 0} Im \ g(x+i \epsilon)$$

,

$$g(x)=\frac{x}{2c}-\sqrt{\frac{x^2}{4c^2}-\frac 1 c}$$

,
$x\in [-\infty,+\infty]$, $c \in R - const$.

Дан такой ответ (это так называемый закон или распределение полукруга):

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{4c-x^2}/(2\pi c), \ \ x^2<4c \\ 0, \ \ x^2 > 4c \end{array} \right.$$

[Brukvalub]

Операция извлечения корня в поле комплексных чисел неоднозначна. Какую ветвь корня Вы выбираете?

[lenok.marshal]

Brukvalub писал(а):

Операция извлечения корня в поле комплексных чисел неоднозначна. Какую ветвь корня Вы выбираете?

Надо произвести разрез оси "х" для отрицательных значений, то есть аргумент комплексного числа должен меняться от -пи до пи?

[ewert]

Ну при любом выборе ветви никаких "пи" там не может возникнуть в принципе. Так что "так называемый закон или распределение полукруга" -- это откровенный бред.

[lenok.marshal]

ewert писал(а):

Ну при любом выборе ветви никаких "пи" там не может возникнуть в принципе.

О каких пи речь?

[ewert]

lenok.marshal в сообщении #198618 писал(а):

О каких пи речь?

Об этих (в верхней ветке):

lenok.marshal писал(а):

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{4c-x^2}/(2\pi c), \ \ x^2<4c \\ 0, \ \ x^2 > 4c \end{array} \right.$$

[lenok.marshal]

Закон не бред и кстати он достаточно известный, только я не знаю как его получить. К сожалению нет сканера отсканировать страницу из книги, а там все так и написано "подставьте одно в другое и получите". Ну, биолог я, о пи ничего не поняла, пи там еще в виде множителя в первой формуле было. Что Brukvalub пошутил? Я думала, это была подсказка.

[ewert]

нет, Brukvalub, конечно, не пошутил. Для корректной постановки задачи обязательно следует выбрать конкретную ветвь корня (а их там две). Но при любом выборе -- никаких "пи" в ответе наблюдаться не может.

[gris]

$\pi$ стоит в определении функции $f(x)$.
$1/2\pi c$ можно сразу же вынести за скобочки.

[lenok.marshal]

lenok.marshal писал(а):

как посчитать предел

$$f(x)=-\frac{1}{\pi}\lim\limits_{\epsilon \to 0} Im \ g(x+i \epsilon)$$

А этот множитель $1/\pi$ cократится?

И вообще-то именно из-за этого пи будет не полукруг, а полуэллипс, но исторически так называют закон полукруга. В русскоязычном интернете ни одного упоминания не нашла - жуть.

Добавлено спустя 7 минут 57 секунд:

gris писал(а):

$\pi$ стоит в определении функции $f(x)$.
$1/2\pi c$ можно сразу же вынести за скобочки.

Да, так и сделаю.

Тут есть формула в разделе Formula для преобразования корня из комплексного числа в стандартную форму Re z + i Im z (главное значение), можно ей воспользоваться?

http://en.wikipedia.org/wiki/Square_roo ... ex_numbers

[gris]

"Распределение полукруга" случайной величины (The Wigner semicircle distribution):

Полуэллипс получается при нормализации плотности.
Вообще плотность имеет вид полуокружности радиуса $r$ с центром в 0. Для нормализации делим на половину площади круга, то есть на $\pi r^2$ И получаем

$f(x)={2\sqrt{r^2 - x^2}\over \pi r^2 }, x \in [-r , r]$

Если возьмём $4c=r^2$, то получим Вашу формулу. Но тогда $c\geqslant 0$.

[ewert]

gris писал(а):

$\pi$ стоит в определении функции $f(x)$

Да уж, как обычно, пю в условии задачи зевнул, поскольку она там откровенно не пришей кобыле хвост. Решение же -- тривиально: если подкоренное выражение отрицательно, то плюс/минус из его модуля и даст асимптотику мнимой части (поскольку мнимая часть первого слагаемого заведомо асимптотически равно нулю).

[lenok.marshal]

Ребята, абождите пожалуйста c элементарным ответом и проявите терпение, потому что мне ничего не понятно, начиная с выбора ветви.

Как тут сказали после упрощения получается (кстати, правда константа $c>0$)

$$f(x)=-\frac{1}{2\pi c}\lim\limits_{\epsilon \to 0} Im \ (x+i\epsilon - \sqrt{x^2-{\epsilon}^2-4c+i 2x\epsilon})$$

.

Как выделить эту самую ветвь? Для простого комплексного числа

$$w=\sqrt{z}=\sqrt{x+iy}=\sqrt{re^{i\phi}}=\sqrt{r}e^{i\phi/2}$$

, если

$$-\pi<\phi<\pi$$

.

Выделить ветвь для того, что стоит под корнем - наложить ограничение на $$-\pi<\phi=\arctg \frac{2x\epsilon}{x^2-{\epsilon}^2-4c}<\pi$? И что это неравенство значит, что с ним делать?

[ewert]

lenok.marshal писал(а):

$$f(x)=-\frac{1}{2\pi c}\lim\limits_{\epsilon \to 0} Im \ (x+i\epsilon - \sqrt{x^2-{\epsilon}^2-4c+i 2x\epsilon})$$

.

$x+i\epsilon-\sqrt{x^2-{\varepsilon}^2-4c+i 2x\varepsilon}\sim x-\sqrt{x^2-4c}$ при $\varepsilon\to0$.

Если $x^2-4c$ положительно, то последнее выражение вещественно. Если же отрицательно, то получается $x\pm i\sqrt{4c-x^2}$. Вот и всё, а зачем тут ещё и эпсилон -- загадка.

[lenok.marshal]

Эх, столько терпения. Осталось совсем не много, простите за занудство

ewert писал(а):

Если $x^2-4c$ положительно, то последнее выражение вещественно.

$$f(x)=0, \ x^2>4c$$

ewert писал(а):

Если же отрицательно, то получается $x\pm i\sqrt{4c-x^2}$. Вот и всё, а зачем тут ещё и эпсилон -- загадка.

Как тут быть с плюс-минус, то есть надо выбирать выражение с минусом, чтобы получить

$$f(x)=\sqrt{4c-x^2}/(2\pi c), \ x^2<4c$$

, но почему?

Что касается $\epsilon$, то видела такую запись

$$f(x)=-\frac{1}{\pi} Im \ g(x+i 0)$$

, что совсем не понимаю, зачем добавлять i 0. Чтобы такое выражение значило? Может так в математике принято.