Ширина ЧУМ делителей числа n

[AndreyXYZ]

Найти верхнюю и нижнюю границу ширины $d$ частично упорядоченного множества $<D(n),|>$ делителей числа $n$ (ширина ЧУМ --- длина максимальной антицепи в графе ЧУМ).
Пример: $d(36)=3$.

Мои выкладки. Пусть разложение числа $n$ на простые числа имеет вид $n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_m^{k_m}$. Тогда
$d(n)=$ \begin{cases} $\min\{k_1,k_2,\ldots,k_m\}+1, \,&m>1\\$ $1,\,&m=1$ \end{cases}
Что делать дальше для проведения оценки?

[Xaositect]

А нужно именно получить оценку как функцию от $n$?
Эта величина сильно скачет туда-сюда, можно попробовать через какие-нибудь теоретико-числовые функции.
Скажем, можно использовать, что для ЧУМ произведение ширины и высоты не больше мощности, а высоту решетки делителей можно оценить сверху двоичным логарифмом.

[Dandan]

$d(n)\geq C_m^{[m/2]}$
$d(n_1n_2)\geq d(n_1)d(n_2), gcd(n_1,n_2)=1$

Сверху можно ограничивать используя теорему Дилуорса. Например
$d(n)\leq 2^md(n/(p_1p_2...p_m))$
$d(n_1n_2)\leq min(a(n_1)d(n_2),a(n_2)d(n_1)), gcd(n_1,n_2)=1, a(n) - $ кол-во всех делителей.

[AndreyXYZ]

Dandan в сообщении #196077 писал(а):

$d(n_1n_2)\geq d(n_1)d(n_2), gcd(n_1,n_2)=1$

Что такое 'gcd"?

[Xaositect]

AndreyXYZ в сообщении #196401 писал(а):

Что такое 'gcd"?

НОД. Greatest common divisor.