Сравнение двух кривых на бесконечности

[e7e5]

Задано описание двух кривых:

A) Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.

B)
Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равноускоренно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.

Вопрос: При больших углах поворота луча ( стремящихся к бесконечности) можно ли кривую B рассматривать как A?

Если можно, то вот как это можно представить?

[gris]

У кривой А расстояние между витками будет постоянным, а у В неограниченно увеличиваться.

Добавлено спустя 4 минуты 20 секунд:

Угол между радиус-вектором и касательной у кривой А будет постоянным, а у В приближаться к 0.
И ещё много разных доводов в пользу отличия. А в пользу сходства разве что спиралевидность.

[e7e5]

e7e5 писал(а):

Задано описание двух кривых:

A) Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.

B)
( прощу прощения внес исправления) - явный вид кривой:
$\rho= \phi * Sin(Arctg(ln[\phi +1]))$


Вопрос: При больших углах поворота луча ( стремящихся к бесконечности) можно ли кривую B рассматривать как A?

Если можно, то вот как это можно представить?

PS Со словесным описанием B не сложилось...
Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равноускоренно движущейся по этой кривой и одновременно принадлежащей лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.

[gris]

Я бы ещё добавил, что кривые "относятся" друг к другу как прямая $y=x$ и парабола $y=x^2$ при больших $x$.

Добавлено спустя 5 минут 34 секунды:

Ну чего-то не очень понятно. По какой кривой? Попробуйте написать уравнение кривых в полярных координатах.

[e7e5]

gris писал(а):

Добавлено спустя 5 минут 34 секунды:

Ну чего-то не очень понятно. По какой кривой? Попробуйте написать уравнение кривых в полярных координатах.

A)
$\rho=\phi$

B)
$\rho= \phi * Sin(Arctg(ln[\phi +1]))$ ( вот такое ур. кривой, словесно затрудняюсь описать)

[gris]

Вот это другое дело. Кривые будут сближаться. И не только кривые, а сами точки.

[e7e5]

gris писал(а):

Вот это другое дело. Кривые будут сближаться. И не только кривые, а сами точки.

Т.е можно сказать, что при $\phi$ стремящемся к бесконечности кривую B можно рассматривать как очень похожую на A ( Спираль Архимеда)?

[gris]

они будут практически совпадать. Что по строгости эквивалентно понятию "очень похожи". Если $A(\phi)$ и $B(\phi)$ две движущиеся точки, то расстояние между ними будет стремиться к нулю.
Я бы употреблял такое написание буквы $\varphi$, хотя это несущественно.

[e7e5]

gris писал(а):

они будут практически совпадать. Что по строгости эквивалентно понятию "очень похожи". Если $A(\phi)$ и $B(\phi)$ две движущиеся точки, то расстояние между ними будет стремиться к нулю.
Я бы употреблял такое написание буквы $\varphi$, хотя это несущественно.

Значит я ошибся в определении ур.-я кривой B.
Я хотел, чтобы при больших $\varphi$ длина последующего элемента кусочка кривой B была каждый раз на целое число раз больше предыдущего ( как частный случай была равна предыдущему) - а ведь для кусочков длин спирали Архимеда это не справедливо ?

Для спирали Архимеда из справочника:
.$L=(\varphi_0* \sqrt{1+\varphi_0^2} +ln(\varphi_0 + \sqrt{1+ \varphi_0^2})$

[Henrylee]

Чего-то я посчитал, вышло вот что
Для спирали $\rho=\varphi$ ускорение точки (вдоль траектории)

$$ \frac{d^2s}{d\varphi^2}=\frac{\varphi}{\sqrt{1+\varphi^2}} $$

то есть оно монотонно растет к единице. Тогда при больших $\varphi$ спираль можно рассматривать как равноускоренную. Это Вы про это?

[e7e5]

Henrylee писал(а):

Чего-то я посчитал, вышло вот что
Для спирали $\rho=\varphi$
Тогда при больших $\varphi$ спираль можно рассматривать как равноускоренную. Это Вы про это?

Да, точно
$\rho=a*\varphi$ при больших углах оказывается так и получается.

Кривая B ведет себя аналогично при больших углах ( как бы становится спиралью Архимеда), но я хотел, чтобы она имела подобное свойство при любых углах $\varphi$ , не только больших: стремящихся к нулю, а вообще любом угле.

Интересное свойство спирали Архимеда на бесконечности, как бы так представить, почему оно возникает на бесконечности?

[gris]

А чего же тут хитрого?
Допустим, каждый виток начинается и кончается на оси $X$. Так как $\varphi$ изменяется равномерно, то на каждый виток тратится равное количество времени. Но длина витка всё время увеличивается. Вначале нелинейно, а потом всё более и более линейно, то есть получается почти равноускоренное движение. Именно вдоль кривой. И именно в отношении скорости увеличения пройденного пути.
Но кривая - всего лишь траектория точки. Можно задать такой закон изменения $\varphi$, что точка будет двигаться хоть равномерно, хоть равноускоренно. Рассмотрите натуральную параметризацию кривой.

[Алексей К.]

gris в сообщении #195501 писал(а):

Рассмотрите натуральную параметризацию кривой.

В элементарных функциях, замечу, не выражаются. Для архимедовой спиральки имеем $s'_\varphi=a\sqrt{1+\varphi^2}$.

[e7e5]

gris писал(а):

А чего же тут хитрого?
....
Но кривая - всего лишь траектория точки. Можно задать такой закон изменения $\varphi$, что точка будет двигаться хоть равномерно, хоть равноускоренно. Рассмотрите натуральную параметризацию кривой.

Хитрого, правда, нет.
Только уравнение не нашлось в явном виде.

[gris]

А что Вы хотите получить, так и не понятно.
Уравнение движения $(\varphi(t);\rho(t))$, при котором точка движется вдоль архимедовой спирали с заданной функцией длины траектории $l(t)$?
Вы сформулируйте задачу максимально точно и строго
А "ничего хитрого", к сожаленнию, относится только к приближённо равноускоренному движению на бесконечности, если $\varphi=t; \pho=t$