Сравнение двух кривых на бесконечности

[e7e5]

gris писал(а):

Вы сформулируйте задачу максимально точно и строго
[/math]

Henrylee писал(а):

Чего-то я посчитал, вышло вот что
Для спирали $\rho=\varphi$ ускорение точки (вдоль траектории)

$$ \frac{d^2s}{d\varphi^2}=\frac{\varphi}{\sqrt{1+\varphi^2}} $$

то есть оно монотонно растет к единице. Тогда при больших $\varphi$ спираль можно рассматривать как равноускоренную.

Нужно найти такую спираль $\rho(\phi)$, чтобы ускорение точки ( вдоль траектории) было постоянным для любых значений$\varphi$ ( угол равномерно меняется, получается эта кривая, так что точка равноускоренно движется по этой кривой и одновременно принадлежит лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.
Беда в том, что ну не выражается эта зависимость в элементарных функциях при всей простоте задачи

Я хотел поискать вид $\rho(\phi)$ на бесконечности и тоже не вышло

Алексей К. писал(а):

gris в сообщении #195501 писал(а):

Рассмотрите натуральную параметризацию кривой.

В элементарных функциях, замечу, не выражаются.

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #196437 писал(а):

Беда в том, что ну не выражается эта зависимость в элементарных функциях при всей простоте задачи

Это не есть беда. Да и "простота задачи" неочевидна. Точнее, задача очевидно простая. Просто она не "учебная", не для задачников, не для контрольных.
Замечу, что даже для коник не выражfется. Но жить с ними легко и просто.

[gris]

Если $\phi$ изменяется равномерно, а $\rho$ увеличивается равноускоренно, то это точно будет спираль, но не архимедова. Вблизи начала координат будет отличаться, а потом приближаться к архимедовой.

Надо бы написать дифференциальное уравнение для $\rho$. С начальными условиями, даже нулевыми. Выразить условие, что вторая производная от длины траектории по углу равна 0. Может быть через какие-то неэлементарные функции выразится или через ряд. Интуитивно понятно, что решение существует.

[Henrylee]

gris писал(а):

Если $\phi$ изменяется равномерно, а $\rho$ увеличивается равноускоренно

Нужно не $\rho$, а $s$.

gris писал(а):

Надо бы написать дифференциальное уравнение для $\rho$.

В этой теме все писали.

[gris]

Детектив просто! Читаю, не могу оторваться.

[e7e5]

Henrylee писал(а):

Для спирали $\rho=\varphi$ ускорение точки (вдоль траектории)

$$ \frac{d^2s}{d\varphi^2}=\frac{\varphi}{\sqrt{1+\varphi^2}} $$

то есть оно монотонно растет к единице. Тогда при больших $\varphi$ спираль можно рассматривать как равноускоренную.

Если поискать "родственников" - какая из спиралей будет наиболее близка к B-спирали (той, которая в элементарных функциях не выразилась) на бесконечности:

A) Архимедова спираль $\rho=a\varphi$
или
С) Спираль Ферма $\rho=a\sqrt{\varphi}$ ?

Например, наиболее близкая родственница к B будет A ( спиралька Архимеда), потом спираль Ферма?

Добавлено спустя 32 минуты 23 секунды:

из справочника, длина спирали ФермА
$a\sqrt{\varphi}* _2 F_1(-1/2; 1/4; 5/4; -4\varphi^2)$ - включает гипергеометрическую функцию

Все только круто наворачивается

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

С) Спираль Ферми $\rho=a\sqrt{\varphi}$

Это спираль ФермА (того самого).

gris в сообщении #196538 писал(а):

Детектив просто! Читаю, не могу оторваться.

Стало быть, не пропал наш скорбный труд...

[e7e5]

e7e5 писал(а):

Если поискать "родственников" - какая из спиралей будет наиболее близка к B-спирали (той, которая в элементарных функциях не выразилась) на бесконечности:

A) Архимедова спираль $\rho=a\varphi$
или
С) Спираль Ферма $\rho=a\sqrt{\varphi}$ ?

Сделаем чертеж


$dS=\sqrt{d\rho^2+dh^2}$
$dh^2=(\rho d\varphi)^2$
т.к $\rho=a\sqrt{\varphi}$
$d\rho=a\frac {d\varphi} {2\sqrt\varphi}$
Отсюда $dS/d\varphi=a/2*\sqrt{\frac {1+4a\varphi^2} {a\varphi}}$

И $d^2S/d\varphi^2$ при больших углах стремится к нулю. т.е. точка движется вдоль траектории спирали Ферма почти равномерно ( ускорение стремится к нулю). Правильно?