Уравнения с логарифмами

[gennc]

Здравствуте. Помогите пожалуйста решить 4 примеров и обьясните как они решаются.
1) $\log_2x=\log_2(4-x)$
2) $\log_3(2х+4) = 1$
3) $\log^2(x-1)-lg(x-1)^2=0$
4) $\log_{\sqrt{3}}x+\log_3x+\log_9x=14$



Заранее благодарю!

[Полосин]

Во-первых, не логорифм, а логарифм. Во-вторых, исправьте формулы, не то получите нагоняй от модератора. В-третьих, откройте школьный учебник и изучите тему "Переход к другому основанию" раздела о логарифмах.

[gefest_md]

gennc писал(а):

4) log (по основанию корень из 3) х + log (по основанию 3) х + log (по основанию 9) = 14

$\log_{\sqrt{3}}x+\log_3x+\log_9x=14$

\log_{\sqrt{3}}x+\log_3x+\log_9x=14

Для чего нужны логарифмы? выразить результаты? в доказательствах он просто число из $\mathbb{R}$?

[gennc]

Исправил.
gefest_md, да просто решить(

[t3rmin41]

2-ой пример записан неправильно потому что :

$\log_3(2+4) ? 1; \log_3(2+4) ? \log_3{3}; \log_3{6} ? \log_3{3}; 6 \neq 3; $

там наверно, вместо 4 или 2 должен $x$ быть.

Первый пример решу, остальное попробуйте сами:

$\log_2{x}=\log_2{(4-x)}$

раз основания у логарифмов одинаковые, то можно их отбросить:

$x=4-x; 2x=4; x=2$

[gefest_md]

gennc писал(а):

1) $\log_2x=\log_2(4-x)$
2) $\log_{3}{(2x+4)}=1$
3) $\log^2(x-1)-\lg(x-1)^2=0$
4) $\log_{\sqrt{3}}x+\log_3x+\log_9x=14$

Напишите с помощью некоторых из знаков $>$, $<$ $=$, $\neq$ для каких $x\in\mathbb{R}$ построенные выражения имеют смысл?

[gennc]

Просто вычислить.


2-й пример там (2х+4)

[gefest_md]

$\log_3{(2x+4)}=1$
По определению должно быть $2x+4>0\ \Leftrightarrow\ x>-2.$ Далее тоже по определению $3^1=2x+4\ \Leftrightarrow\ 2x=-1\ \Leftrightarrow\ x=-\dfrac12.$

Добавлено спустя 1 минуту 23 секунды:

Обязательно ответ $S=\left\{-\dfrac12\right\}$

[gennc]

Подскажите как:
3) $\log^2(x-1)-lg(x-1)^2=0$
4) $\log_{\sqrt{3}}x+\log_3x+\log_9x=14$
Пожалуйста.

[gefest_md]

gennc писал(а):

Подскажите как:
3) $\log^2(x-1)-lg(x-1)^2=0$
4) $\log_{\sqrt{3}}x+\log_3x+\log_9x=14$

исправьте 3.
для 4 используем свойства:
(1) $\log_{a^\alpha}x=\dfrac{1}{\alpha}\log_a{x},\quad(\alpha\neq0)$
(2) $\log_ax^\alpha=\alpha\log_ax$
(3) $\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$

$\log_{\sqrt{3}}x+\log_3x+\log_9x=14$ (исходное уравнение и по определению $x>0$)
$\log_{3^{\frac12}}x+\log_3x+\log_{3^2}x=14$
$2\log_{3}x+\log_3x+\dfrac12\log_{3}x=14$ (1)
$\log_{3}x^2+\log_3x+\log_{3}x^{\frac12}=14$ (2)
$\log_{3}x^3+\log_{3}x^{\frac12}=14$ (3)
$\log_{3}x^{\frac72}=14$ (3)
$x^{\frac72}=3^{14}$ (по определению)

$x^{7}=3^{28}$ (после возведения в квадрат)
$x=\sqrt[7]{3^{28}}$

$x=\sqrt[7]{3^{4\cdot 7}}$
$x=\sqrt{3^{4}}$
$x=3^2=9$

Ответ: $S=\{9\}.$

Добавлено спустя 4 минуты 52 секунды:

ошибка

[gennc]

Всем спасибо большое.

[gefest_md]

$x=\sqrt[7]{3^{4\cdot 7}}$
$x=3^{4}=81$

Ответ: $S=\{81\}.$

[Nastya lovemaths]

gennc в сообщении #193052 писал(а):

Здравствуте. Помогите пожалуйста решить 4 примеров и обьясните как они решаются.
1) $\log_2x=\log_2(4-x)$
2) $\log_3(2х+4) = 1$
3) $\log^2(x-1)-lg(x-1)^2=0$
4) $\log_{\sqrt{3}}x+\log_3x+\log_9x=14$



Заранее благодарю!

У меня в чевертом тоже 81.Остальные все легкие)

[bot]

gefest_md в сообщении #193077 писал(а):

Добавлено спустя 1 минуту 23 секунды:

Обязательно ответ $S=\left\{-\dfrac12\right\}$

Не могу понять, почему обязательно и при чём здесь какое-то $S$? В задании требовалось найти $x$. Это что, новый указ вышел о правилах оформления решения?

[12d3]

Я думаю, он вам не ответит. =)