Вывод основных уравнений для анализа ВТФ

[Гаджимурат]

Теорема,которую П.Ферма сформулировал без доказательства,заключается в следующем. Уравнение вида $x^N+y^N=z^N$ (1) при $N\geqslant3$ не имеет целых положительных решений и, если x,y,z-являются решением (1), то:
1. $xyz$делится на N.
2.$xyz$- не делится на N.
Большинство исследователей ВТФ игнорировали эти 2 случая, подсказанные самим П.Ферма. Авторм данной статьи были проанализированы различные направления исследований по данной тематике и было обнаружено: все исследователи не обратили на очевидные факты, не требующие особых знаний математики для анализа ур-ния (1). Смысл наших исследований ВТФ сводится к следующему.
Пусть ур-ние (1) имеет решение в целых положительных числах при условиях:
$xyz$-являются его решением и эти цисла взаимно простые;
$x+y>z$;
$x,z$- целые нечетные числа;
$y$- целое четное число;
N- целое простое число.
Почему N- простое число?- Если доказать, что ВТФ не имеет решения в целых числах при простых N, то элементарно доказывается отсутствие решения ВТФ для всех остальных степеней.
При всех прочих условиях ВТФ доказана на элементарном уровне.
Примем$x+y=z+x_1$ (2), отсюда найдем $x=x_1+n_1$,$y=x_1+n$,$z=x_1+n_1+n$ (3),где:
$n=z-x$ , $n_1=z-y$, $x_1$ -целое,четное число. Тогда $xy-x_1z=nn_1$ (4), соответственно и
$f(\alpha)(xy-x_1z)^k=f(\alpha)(nn_1)^k $(5), k=1,2,3,....
Возведем правую и левую части ур-ния (2) во 2,3,4,5,....,N степени и , учитывая (2) (4) (5), найдем:

$$z^N+x_1^N=x^N+y^N+Nnn_1(x+y)f(m)$$

. (6)
Если ур-ние (1) имеет решение в челых числах, то $z^N-x^N-y^N=0$ и (6) ,соответственно, запишем:

$$x_1^N=Nnn_1(x+y)f(m)$$

. (7)
При условии $n,n_1,(x+y),f(m)$ -взаимно простые (не имеют общих делителей), то для нахождения $x_1$ требуется выполнение условия: $Nn=a^N$, $n_1=b^N$, $(x+y)=c^N$ и
$f(m)=m^N$ (здесь приняли,что $y$ делится на $N$ ). Для случаев: $x$ делится на $N$ имеет место$Nn_1=b^N$; $z$делится на $N$, то $(x+y)=c^N$ и, если $xyz$ не делится на $N$, следует принимать $Nf(m)=m^N$. Ур-ние (7) запишем: $x_1^N=a^Nb^Nc^Nm^N$, тогда $x_1=abcm$. Поэтому ур-ния (3) будут иметь вид:
$x=abcm+b^N$,
$y=abcm++\frac{a^N}N$,
$z=abcm+b^N+\frac{a^N}N$.
Поэтому $c^N=2abcm+b^N+\frac{a^N}N$ и, если принять $z=cd$, $c^{N-1}=abm+d$, где $d^N=x^{N-1}+y^{N-1}-xy(x^{N-3}+y^{N-3})+......\pm(xy)^{\frac{N-1}2}$. Ур-ние для $f(m)$ имеет вид:
$m^N=\frac{K_1+1}N\left(y^{N-3}+x^{N-3}\right)+\frac{K_2-1}Nnn_1\left(y^{N-5}+x^{N-5}\right)+$
$\frac{K_3+1}Nn^2n_1^2\left(y^{N-7}+x^{N-7}\right)+$....$+\frac{K_{\alpha-1}\pm1}N\left(nn_1\right)^{\frac{N-5}2}(y^2+x^2)+$ $\frac{K_\alpha\mp1}N\left(nn_1\right)^{\frac{N-3}2}+$ $\beta_1(x_1z)\left(y^{N-5}+x^{N-5}\right)$+ $\beta_2(x_1z)(nn_1)\left(y^{N-7}+x^{N-7}\right)$+
$\beta_3x_1^2z^2(nn_1)^2\left(y^{N-9}+x^{N-9}\right)$+.....+
$\beta_\iota(x_1z)\left(nn_1\right)^{\frac{N-5}2}$+ $\lambda_1(x_1^2z^2)\left(y^{N-7}+x^{N-7}\right)$+$\lambda_2(x_1^2z^2)(nn_1)\left(y^{N-9}+x^{N-9}\right)$+.....+
$\lambda_\kappa(x_1^2z^2)\left(nn_1\right)^{\frac{N-3}2}+...+\zeta_1(x_1z)^{\frac{N-5}2}(y^2+x^2)$
+$\zeta_2(x_1z)^{\frac{N-5}2}(nn_1)+\xi(x_1z)^{\frac{N-3}2},$ где:$K_0,K_1,K_2,...K_\alpha$- коэффициенты при разложении Бинома Ньютона N-1 степени.
$K_0=1$; $K_\alpha+1$ при $N-1$делится на $2^{\geqslant2}$; $K_\alpha-1$ при $N-1$ $\equiv$ $2$ ;$\alpha=\frac{N-1}2$; $\frac{K_1+1}N=1$.

$$\beta_1=\frac{(N-1)!-2!(N-3)!}{1!(N-3)!N}-\frac{(N-3)!}{1!(N-4)!}=0$$

,

$$\beta_2=\frac{(N-1)!+3!(N-4)!}{2!(N-4)!N}-\frac{(N-3)!}{2!(N-5)!}=\frac{N-1}{2!}$$

,

$$\beta_3=\frac{(N-1)!-4(N-5)!}{3!(N-5)!N}-\frac{N-3)!}{3!(N-6)!}=\frac{2N^2-12N+10}{3!}$$

,
и т.далее, до $\beta_\iota$, где: $\iota=\frac{N-3}2$.

$$\beta_\iota=\frac{(N-1)!\pm\left(\frac{N-1}2\right)!\left(\frac{N+1}2\right)!}{\left(\frac{N-3}2\right)!\left(\frac{N+1}2\right)!N}-\frac{(N-3)!}{\left(\frac{N-3}2\right)!\left(\frac{N-3}2\right)!}=$$

$\frac{\mu_1N^{\iota-1}-\mu_2N^{\iota-2}+\mu_3N^{\iota-3}-...\pm\mu_{\iota-1}N\mp\mu_\iota}{\iota!}$.
Здесь: $\sum\limits_{\iota=1}^{\frac{N-3}2}|\mu_\iota|=24\cdot10^{\iota-3}$, а $\sum\limits_{\iota=1}^{\frac{N-3}2}\mu_\iota=0$.
Для $x_1^2z^2f(nn_1,x,y),...,(x_1z)^{\frac{N-3}2}$ -коэффициенты не определены,т.как эти члены не принимают участия в анализе,когда $m^N$делится на N,3,5,7.
Необходимо учитывать: m=1 для N=2 и 3; с=1 для четных N.
Рассмотрим второй случай, когда $xyz$ не делятся на N. В этом случае $Nf(m)=m^N$ и $\frac{m^N}N=f(m)$. Отсюда m делится на N и $x_1$делится на N. В ур-нии (7) в правой его части $x$ и $y$ раскроем как $x=x_1+n_1$ и $y=x_1+n$, затем отбросим все члены,содержащие $x_1$, тогда оставшиеся члены уравнения (7) должны делится на N, поэтому:
$\frac{K_1-1}N(n^{N-3}+n_1^{N-3}) +\frac{K_2-1}Nnn_1(n^{N-5}+n_1^{N-5})$+$\frac{K_3+1}Nn^2n_1^2(n^{N-7}+n_1^{N-7})+$...+$\frac{K_{\alpha-1}\pm1}N(nn_1)^{\frac{N-5}2}(n^2+n_1^2)+\frac{K_\alpha\mp1}N(nn_1)^{\frac{N-3}2}$делится на N.(8) Другими исследователями доказано, что при случае, когда $xyz$ не делится на N, то $y-x$делится на N или в нашем случае $n-n_1$делится на N.(9) Анализируя ур-ние (8), и ,учитывая (9), найдем: $2^{N-1}-1$делится на $N^2 $,что противоречит малой теореме Ферма и ,как следствие, ур-ние (1) не имеет решений в целых числах для случая $xyz$ не делятся на N.
Пусть $x$делится на $N$.В этом случае $Nn_1=b^N$. Проанализируем ур-ние: $c^N=2abcm+a^N+\frac{b^N}N$, отсюда $c^N-a^N$делится на $N^2$, $b$делится на $N^2$,т.есть $x$делится на $N^2$. Аналогично и для $y$ и $z$. $x_1$делится на $N^2,3,5,7.$- предлагается без доказательства.Это отдельная тема. $m$делится на 3$\cdot$5$\cdot$7-ур-ние (1) так же не имеет решений в целых числах.
Вывод: ур-ние Ферма может иметь решение в целых числах при условии: $xyz$делится на $N^{\geqlant2}\cdot3\cdot5\cdot7.$ Уточним: если $xyz$ не делятся на 7, то $y-x$делится на 7.Уточнение относится и к N=2(2-четное,простое число), а для четного числа $x+y$ или $y-x$делится на 7. (все,что относится к N=2, проверяется практически).
Есть надежда завершить доказательство ВТФ на элементарном уровне.

[Бодигрим]

Гаджимурат в сообщении #192696 писал(а):

Уравнение вида $x^N+y^N=z^N$ (1) при $N\geqslant3$ не имеет целых положительных решений и, если x,y,z-являются решением (1), то:
1. $xyz$ $\equiv$N.
2. $xyz$- не делится на N.

Так 1 или 2? Или это уже кончилась формулировка теоремы и пошли рассуждения?

Гаджимурат в сообщении #192696 писал(а):

Большинство исследователей ВТФ игнорировали эти 2 случая, подсказанные самим П.Ферма.

Постников М. М. в книге [math]<<[/math]Введение в теорию алгебраических чисел[math]>>[/math] писал(а):

Уже Эйлеру было известно, что при исследовании уравнения $x^l+y^l=z^l$, $l$ - простое, $\geqslant3$, необходимо различать случай, когда ни одно из чисел $x$, $y$, $z$ не делится на $l$, от случая, когда хотя бы одно из этих чисел делится на $l$.

Добавлено спустя 10 минут 33 секунды:

Гаджимурат в сообщении #192696 писал(а):

$x,z$- целые нечетные числа;
$y$- целое четное число;

Следует ли это читать так, что ограничение на положительность $x,y,z$ вы на этом этапе отбрасываете?

[Коровьев]

Гаджимурат писал(а):

найдем: $2^{N-1}-1$ $\equiv$ $N^2 $,что противоречит малой теореме Ферма и ,как следствие, ур-ние (1) не имеет решений в целых числах для случая $xyz$ не делятся на N.

МТФ никогда не брала на себя смелость утверждать, что при $p$ простом $a^{p-1}-1$, делясь на $p$ никогда не делится на $p^2$
$3^{10}-1$ делится на $11^2$
И даже
$2^{1093}-1$ делится на $1093^2$
$2^{3511}-1$ делится на $3511^2$
Среди чисел меньше 200 183 существуют только два таких числа.
/Pearson. 1963г./
Теория чисел. Боревич,Шаферевич.1964г. Стр.298.
Вместе с тем считаю, что приведённое доказательство критерия для первого случая БТФ /есстественно, ежели нет ошибок/ есть неплохое личное достижение автора, хотя этот критерий и был получен сто лет назад в 1909 году Виферихом/Wieferich/. (Там же.)

[Гаджимурат]

Коровьев в сообщении #193102 писал(а):

МТФ никогда не брала на себя смелость утверждать, что при простом , делясь на никогда не делится на

Я извиняюсь,примеры приведены не в тему: основание 3 -это не 2 и далее-разговор идет о N-1 степени и делении на N, а не о степени N и делении на N-это большое различие.

Добавлено спустя 6 минут 15 секунд:

Бодигрим в сообщении #192977 писал(а):

Так 1 или 2? Или это уже кончилась формулировка теоремы и пошли рассуждения?

Я не читал в "оригинале"-как формулировал Ф. свою ВТФ,но так понял из печатных источников.

Добавлено спустя 3 минуты 59 секунд:

Бодигрим в сообщении #192977 писал(а):

Большинство исследователей ВТФ игнорировали эти 2 случая, подсказанные самим П.Ферма.

Я сказал:"большинство" и добавлю-кто исследовал ВТФ на элементарном уровне.

Добавлено спустя 5 минут 26 секунд:

Коровьев в сообщении #193102 писал(а):

этот критерий и был получен сто лет назад в 1909 году Виферихом/Wieferich/. (Там же.)

Спасибо за информацию,интересно,просмотрю,но трудно найти источник-в сельской библиотеке уж точно нет.

[Мат]

Гаджимурат писал(а):

Коровьев в сообщении #193102 писал(а):

МТФ никогда не брала на себя смелость утверждать, что при простом , делясь на никогда не делится на

Я извиняюсь,примеры приведены не в тему: основание 3 -это не 2 и далее-разговор идет о N-1 степени и делении на N, а не о степени N и делении на N-это большое различие.

Там у Коровьева $N-1$-ые степени (опечатка).
$2^{1092}-1$ делится на $1093^2$
$2^{3510}-1$ делится на $3511^2$

[Гаджимурат]

Мат в сообщении #193168 писал(а):

делится на
делится на

Теперь серьезно,буду думать! И спасибо!!
Дополнение: если существуют такие N, для которых условие$2^{N-1}-1$ делится на $N^2$ cправедливо,
то основные уравнения решаются в целых числах при условии,что $m$делится на$N^2$ и соответственно $x_1$делится на $N^2$, поэтому уравнение (8) решается в целых числах при условии
$2^{N-1}-1$делится на $N^3$

[Алексей К.]

На моей клавиатуре есть кнопочка =. Почему на Вашей всюду три горизонтальные палочки???
Они вводят в заблуждение, ибо в математике есть такой символ, и у него есть специальный смысл.

Гаджимурат писал(а):

функция $\frac{m^N}N$ решается в целых числах при условии $2^{N-1}-1\equiv N^3$

Ни одна функция в целых числах не решается. Даже в иррациональных.

[Лиля]

Алексей К. в сообщении #193989 писал(а):

Почему на Вашей всюду три горизонтальные палочки???

Вкорее всего сдесь имелась ввиду эквивалентность однако к ней еще добавляют по модулю какого числа сдесь подробнее -если я не права поправьте

[Гаджимурат]

Лиля в сообщении #194008 писал(а):

Вкорее всего сдесь имелась ввиду эквивалентность однако к ней еще добавляют по модулю какого числа сдесь подробнее -если я не права поправьте

Вы правы. Я должен был написать более подробно,примерно так: в ур-нии (8) сумма членов,не содержащих $x_1$, делится на N и закончить словами-поэтому $2^{N-1}$ делится на $N^2$.
Я применяю $\equiv$ как знак деления,опуская "mod".Буду писать "делится на.."и "не делится на.."

Добавлено спустя 5 минут 52 секунды:

Алексей К. в сообщении #193989 писал(а):

Ни одна функция в целых числах не решается. Даже в иррациональных.

Описка.Необходимо заменить слово "ФУНКЦИЯ" на УРАВНЕНИЕ (8)

[Гаджимурат]

Лиля в сообщении #194008 писал(а):

если я не права поправьте

Правы, я поправил, в статье поправлю(привык опускать "mod")

[bot]

А почему не хотите пользоваться стандартными обозначениями?

$a|b \iff \exists x (ax=b)$
Читается как "$a$ делит $b$" или "$b$ делится на $a$", архаичный эквивалент $b\, \vdots \, a$.
$a\not | b$ - $a$ не делит $b$

$a\equiv b \pmod {m} \iff m|(b-a)$, иногда mod опускают и пишут $a\equiv b (m)$ и даже $a\equiv b$, если из контекста ясно о каком $m$ идёт речь
или есть специальное соглашение на этот счёт. Мне больше нравится писать $a\equiv_m b$, соответственно $\not\equiv_m$ для отрицания.

Кстати, $0|0$, то есть 0 (и только 0) делится на 0 - не путать с вопросом деления 0 на 0, в первом случае у нас отношение, а во втором операция. В частности, $a\equiv_0 b \iff a=b$, то есть отношение равенства - это сравнение по модулю 0.

[Гаджимурат]

А почему не хотите пользоваться стандартными обозначениями?
Спасибо за разьяснения. Я,когда пишу $a$ $\equiv$ $N^2$, имею ввиду: $a$ делится на $N^2$, т.есть $a$ есть число $a_1N^2$
А по статье какие замечания,прав или нарушаю законы математики или делаю не обоснованные выводы?.Дело в том, что я еще не все выложил на форум для обсуждения по данной теме.Если я прав,то разговор продолжу,если нет? На нет и суда нет.

[Виктор Ширшов]

Гаджимурат в сообщении #194464 писал(а):

Если я прав,то разговор продолжу,если нет? На нет и суда нет.

Гаджимурат писал(а):

Есть надежда завершить доказательство ВТФ на элементарном уровне.

Сомневаетесь в своём доказательстве, значит, не правы. У Вас нет надежды завершить доказательство ВТФ на элементарном уровне. На форуме собрались сливки математического сообщества, ум которых находится за пределами такого уровня.

[Гаджимурат]

Виктор Ширшов в сообщении #197322 писал(а):

Сомневаетесь в своём доказательстве, значит, не правы. У Вас нет надежды завершить доказательство ВТФ на элементарном уровне. На форуме собрались сливки математического сообщества, ум которых находится за пределами такого уровня

Если бы не сомневался-не вышел бы и на форум. По моему мнению форум DxDy -лучший из лучших форумов .Здесь собрались "ребята" не моего уровня-профи.Я о себе, в вопросах анализа ур-ний, не высокого мнения. Собственно я выжидаю-кто,что подскажет,сделают замечания,поправят.И последнее-я уверен доказать ВТФ на элементарном уровне возможно и не обязательно,что это буду я.

[Виктор Ширшов]

Гаджимурат в сообщении #197826 писал(а):

По моему мнению форум DxDy -лучший из лучших форумов .

Только не надо хвалебных слов, а то возомнят ещё.

Гаджимурат в сообщении #197826 писал(а):

Здесь собрались "ребята" не моего уровня-профи.

"Ребята" здесь всякие.

Гаджимурат в сообщении #197826 писал(а):

И последнее-я уверен доказать ВТФ на элементарном уровне возможно и не обязательно,что это буду я.

Совершенно очевидно, что доказательство ВТФ элементарное ("удивительное", не может быть сложным). Правда, эта элементарность каждому ферматику видится по-разному. Из того, как Вы выводили и анализировали, можно предположить, что Ваше незавершённое доказательство весьма сложное.