вероятность - вычислить A + B - AB

[dp]

Задача: в урне очень много шариков, вероятность вытащить красный = 0.6 вероятность белый = 0.4. Найти вероятность того что что два вытащенных щарика будут разного цвета.

A - событие обозначающие что первый шарик красный
B - событие обозначающие что второй шарик красный
очевидно что решение:
A + B - AB
Причем видимо (A+B)-AB .
два вопроса:
1) не могу в учебниках найти про то что $ A + B - AB \neq (A + B) - AB$
то есть почему ассоциативность $ (A + B) + C = A + (B + C)$ работает только на сложение?
2) Как вычислить вероятность (A+B)-AB ? :
$P((A + B) - AB) =P((A+B)*\overline{AB})=P(A*\overline{AB} +B*\overline{AB})=....$
то есть получить формулу для вычисления вероятности которую можно вычислить зная только что P(A)=0.6 и P(B)=0.6 и что эти события независимы.

[Kuzya]

Откуда такая уверенность, что "очевидно что решение: A + B - AB "?

[dp]

из диаграмм Вьенна-Эйлера. Из площади объеденения множеств A+B мы отнимаем площадь их пересечения AB => (A+B)-AB
почему это не очевидно и тогда как правильно?

[ASA]

dp в сообщении #192546 писал(а):

Найти вероятность того что что два вытащенных щарика будут разного цвета.

A - событие обозначающие что первый шарик красный
B - событие обозначающие что второй шарик красный

$P(A\overline{B}+\overline{A}B)$

[dp]

а разве $P((A+B)-AB) \neq P(A\overline{B} +\overline{A}B)$ ??
по-моему это одно и то же.

[Бодигрим]

dp в сообщении #192561 писал(а):

Из площади объеденения множеств A+B мы отнимаем площадь их пересечения AB => (A+B)-AB

почему это не очевидно и тогда как правильно?

А если оба синие? Нужно еще отнять $\bar A \bar B$ и расписать получившееся событие в сумму несовместимых.

[Лиля]

dp в сообщении #192546 писал(а):

не могу в учебниках найти про то что $ A + B - AB \neq (A + B) - AB$

избавтесь от знака минус и станет видно почему

[dp]

оба синими быть не могут! там только красные и белые - условия задачи.
Извиняюсь, можно конструктивно сказать по моим двум вопросам в первом посте:
1) из чего следует что ассоциативность работает только на сложение
2) как получить формулу вычисления вероятности? То есть как вычислить вероятность P((A+B)-AB) зная только что P(A)=0.6 и P(B)=0.6 (мне не нужет конечный результат - мне хочется понять как это получить)
спасибо.

[Бодигрим]

Упс, я погорячился - вероятность $P(A+B-AB)$ - правильная.

dp в сообщении #192584 писал(а):

1) из чего следует что ассоциативность работает только на сложение

А на что она еще может работать?

dp в сообщении #192584 писал(а):

То есть как вычислить вероятность P((A+B)-AB)

Давайте по шагам. Итак, мы хотим найти $P(A+B-AB)$.

1. Разбиваем событие в сумму (именно сумму) несовместимых: $A+B-AB = A(B+\bar B)+B(A+\bar A)-AB = AB + A\bar B +AB + \bar A B - AB = A\bar B + B\bar A$. Здесь все переходы понятны?

[Лиля]

Вероятность что вы вытащите вначале красный затем белый $P_{1}=0{,}6\cdot 0{,}4$ вероятность что вы вытащите вначале белый затем красный $P_{2}=0{,}4\cdot 0{,}6$ вероятность что произойдет одно из этих событий $P=P_{1}+P_{2}$

[ewert]

dp в сообщении #192584 писал(а):

1) из чего следует что ассоциативность работает только на сложение
2) как получить формулу вычисления вероятности? То есть как вычислить вероятность P((A+B)-AB) зная только что P(A)=0.6 и P(B)=0.6

1). Потому, что для множеств операция вычитания не является обратной по отношению к операции сложения (т.е. объединения). Поэтому в формуле, составленной из сложений и вычитаний, ассоциативности вполне может и не быть. Ну так её и нет.

2). Вы ведь знаете, что $P((A+B)-AB) = P(A\overline{B} +\overline{A}B)$. Преимущество правого представления перед левым -- в том, что справа слагаемые несовместны.

[Архипов]

dp в сообщении #192546 писал(а):

Задача: в урне очень много шариков, вероятность вытащить красный = 0.6 вероятность белый = 0.4. Найти вероятность того что что два вытащенных щарика будут разного цвета.

A - событие обозначающие что первый шарик красный
B - событие обозначающие что второй шарик красный
очевидно что решение:
A + B - AB

Нагляднее решение будет, если обозначить Р(K)=0,6=р, Р(Б)=0,4=q. $p+q=1$
Для 2 шариков $(p+q)^2 =p^2+2pq+q^2 =1$
Для 3 шариков $(p+q)^3 =p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 =1$
Для 4 шариков $(p+q)^4 =p^4+4p^3q+6p^2q^2+4pq^3+q^4 =1$
И так далее (разложения бинома Ньютона).
В формуле очевидны все возможные события и формулы их вычисления.
Вот найдите формулу вероятности вытащить 2 красных и 2 белых шарика.
Ответ: $6p^2q^2$ . Действительно очевидно. Показатель степени указывает количество шариков p и q в данном сочетании.

[ewert]

Архипов писал(а):

dp в сообщении #192546 писал(а):

Задача: в урне очень много шариков, вероятность вытащить красный = 0.6 вероятность белый = 0.4. Найти вероятность того что что два вытащенных щарика будут разного цвета.

Вот найдите формулу вероятности вытащить 2 красных и 2 белых шарика.
Ответ: $6p^2q^2$ . Действительно очевидно. Показатель степени указывает количество шариков p и q в данном сочетании.

Во-первых, это опять не та задача: вытаскиваются два шарика, а не четыре.

Во-вторых, зачем пудрить мозги? Это никакой не бином Ньютона, а формула Бернулли, которая непосредственного отношения к биному не имеет.

[dp]

ewert - спасибо! все понял и не не запудрил себе мозги!
Точно, хотелось придти к сумме несовместимых:

$P(A\overline{B} +\overline{A}B)=P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)=P(A)*P(\overline{B})+P(B)*P(\overline{A})=P(A)(1-P(B))+P(B)(1-P(A))=0.6*0.4+0.6*0.4=0.48$

Тут $P(A\overline{B})=P(A)*P(\overline{B})$ так как A и B независимы:

$P(A)=P_{B}(A)=0.6$

Где бы взять задачек с объяснениями на такие вот преобразования ?
В учебниках по терверу это все как-то очень кратко. А чувствую
что надо бы немного попрактиковаться.
А то непривычно как-то, все хочется арифметически их решить.

P.S. Жалко что на форуме нет рейтингов ответов(ну и вопросов))

[Бодигрим]

dp в сообщении #192599 писал(а):

Где бы взять задачек с объяснениями на такие вот преобразования ?

Для таких задачек сигма-алгебры событий конечны и вообще очень просто устроены. Поэтому дробите все имеющиеся у вас события до наименьших, имеющихся в данной сигма-алгебре. Они уже друг от друга независимыми окажутся.