задачка про функцию (мажорирование выпуклой)

[vlad239]

Веду мат.кружок для студентов. Читая сборники задач студенческих олимпиад наткнулся на такую.

$f(x)$ непрерывна на $[0,1]$, причем $f(0)=f(1)=0$. Докажите, что найдется выпуклая вверх функция $g(x)$, такая что $g(0)=g(1)=0$ и $g(x)\ge f(x)$ на всем отрезке.

Хочется простого решения, без слов "выпуклая оболочка графика" и без заметания выпуклой оболочки под ковер. Так-то я умею.

Влад.

[ShMaxG]

А трапеция с высотой

$$ h = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,1} \right]} f\left( x \right) $$

и основанием - отрезком

$$ {\left[ {0,1} \right]} $$

не подходит? С соответствующим выбором наклона боковых сторон?

[Xaositect]

ShMaxG писал(а):

С соответствующим выбором наклона боковых сторон?

Вот тут, как я понимаю, будут проблемы.
Функция-то не обязательно дифференцируема.

[ShMaxG]

Xaositect
Да-да, только что заметил...

[gris]

...

[Brukvalub]

Может, начать так:
Пусть $c \in (0\;;\;1)$ - точка наибольшего значения функции $h(x) = \left| {f(x)} \right|$.
Тогда положим
$q(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\mathop {\;\mathop {\max }\limits_{0 \le y \le x} h(y)\quad ,\;x \le c}\limits_{} } \\ {\mathop {\;\mathop {\max }\limits_{x \le y \le 1} h(y)\quad ,\;x \ge c}\limits_{} } \\ \end{array}} \right.$
А вот для этой довольно просто устроенной мажорирующей функции $q(x)$ и строить выпуклую мажоранту?

[ASA]

Может так. Делим отрезок [0,1] пополам. В каждом отрезке находим по одной точке максимума функции $f(x)$. Пусть для левого отрезка - это $x_1$, для правого - $x_2$. Соединяем точки $(0,0)$, $(x_1,f(x_1)$, $(x_2,f(x_2)$, $(1,0)$ на графике. Получаем кусочнолинейную функцию. Далее, каждый из отрезков снова делим пополам т.д. Строим функциональную последовательность и переходим к пределу. Что будет в пределе? Не знаю.

[ASA]

В пределе, видимо, $f(x)$? В общем, фигня.

[Лиля]

vlad239 писал(а):

Веду мат.кружок для студентов. Читая сборники задач студенческих олимпиад наткнулся на такую.

$f(x)$ непрерывна на $[0,1]$, причем $f(0)=f(1)=0$. Докажите, что найдется выпуклая вверх функция $g(x)$, такая что $g(0)=g(1)=0$ и $g(x)\ge f(x)$ на всем отрезке.

Хочется простого решения, без слов "выпуклая оболочка графика" и без заметания выпуклой оболочки под ковер. Так-то я умею.

Влад.

а как вам функция

$$g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} (-x^{2}+9)\cdot (| \max_{x \in (0, 1)}f(x)|+1), & x \in (0, 1) \\ 0, & x\in \{0, 1 \}\\ \end{array} \right. $$

$g(0)=g(1)=0$ очевидно что $g(x)$ выпукла вверх на $(0,1)$ поскольку $-x^{2}+9$ -выпукла вверх, лекго показать что $g(x)$ выпукла вверх и на $[0, 1]$ а так же ясно что $g(x)\geq f(x)$ на $[0,1]$, поскольку $-x^{2}+9 \geq 0$ и $| \max_{x \in (0, 1)}f(x)|+1 \geq 1$ на $ (0, 1)$

[Dandan]

$$ g(x) = \mathop {\sup }\limits_{x = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i} \Bigg(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i f (x_i)\Bigg) $$

Так достаточно просто?

[vlad239]

Dandan писал(а):

$$ g(x) = \mathop {\sup }\limits_{x = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i} \Bigg(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i f (x_i)\Bigg) $$

Так достаточно просто?

Это и есть заметание выпуклой оболочки под ковер. А говорить про выпуклую оболочку я не хочу - времени нет, а пригождается она на студ.олимпиадах редко.

Влад.

Добавлено спустя 2 минуты 57 секунд:

Re: задачка про функцию

Лиля писал(а):

а как вам функция

$$g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} (-x^{2}+9)\cdot | \max_{x \in (0, 1)}f(x)|- x(x-1), & x \in (0, 1) \\ 0, & x\in \{0, 1 \}\\ \end{array} \right. $$

А ничего, что она разрывна в концах отрезка? Я, конечно, про непрерывность не написал, но если ее не требовать, то такие извращения не нужны - можно отрезком накрыть ее график, а в концах переопределить значения на нули.

Влад.

[ewert]

Пусть $c_0$ -- удвоенный глобальный максимум функции, $x_0=1/2$ и $y=\widetilde k_1(x-x_0)+c_0$ -- касательная к левой части графика (т.е. $\widetilde k_1$ -- это супремум всех $k$, для которых уравнение $k(x-x_0)+c_0=f(x)$ не имеет решений на участке $[0;x_0]$). Берём в качестве $x_1$ наибольшее решение уравнения $\widetilde k_1(x-x_0)+c_0=f(x)$ на $[0;x_0]$ и затем $c_1=2f(x_1)$G. После этого определяем мажоранту на участке $[x_1;x_0]$ как линейную функцию, построенную по точкам $(x_1,c_1)$ и $(x_0,c_0)$; пусть $k_1$ -- её угловой коэффициент.

Аналогичным образом выбираем $x_2$, $c_2$ и $k_2$ для участка $[0;x_1]$ и т.д.

Перед каждым шагом $c_n$ не меньше удвоенного максимума функции на оставшемся отрезке. Поэтому каждое $x_n$ как минимум вдвое меньше предыдущего и, следовательно, $x_n\to0$. Но тогда и $c_n\to0$.

Таким образом, имеем непрерывную монотонно возрастающую функцию, стремящуюся к нулю в нуле. Она является мажорантой, и притом выпуклой, т.к. $k_n$ монотонно возрастают.

Для правой половины графика -- аналогично.

[Dandan]

vlad239 писал(а):

Это и есть заметание выпуклой оболочки под ковер. А говорить про выпуклую оболочку я не хочу - времени нет, а пригождается она на студ.олимпиадах редко.

ну, эт канеш ваше дело, но свойства выпуклости функций довольно важны вообще, да и на олимпиадах знание этих свойств бывает полезным не так уж и редко. К тому же объяснение того, почему приведенная мною функция подходит, займет всего лишь пару строчек

[Лиля]

vlad239 в сообщении #192615 писал(а):

если ее не требовать, то такие извращения не нужны

просто я не знала как на русском языке различаються термины "concave" и "strictly concave" поэтому написала на всякий случай для "строгой выпуклости " - теперь то я уж знаю

[gris]

неудачная попытка