задачка про функцию (мажорирование выпуклой)

[ewert]

ewert в сообщении #192863 писал(а):

Вроде как выпуклость проверяется в лоб.

Контрпример: функция $f(x)$ кусочно-постоянна, и её график представляет собой два стоящих рядом противоположно направленных прямоугольных импульса ширины $d$: один высотой $(-1)$ и другой $(+1)$. Тогда $g(x)\equiv1$ при $x>2d$ и $g(x)\equiv2$ при $x<2d$. Какая уж тут выпуклость.

[Lyoha]

ewert писал(а):

ewert в сообщении #192863 писал(а):

Вроде как выпуклость проверяется в лоб.

Контрпример: функция $f(x)$ кусочно-постоянна, и её график представляет собой два стоящих рядом противоположно направленных прямоугольных импульса ширины : один высотой (-1) и другой (+1).

$f(x)$ непрерывна на $[0;1]$. И конструкция может быть построена только для непрерывной функции. Или я что-то неправильно понял про прямоугольные импульсы?

[ewert]

Во-первых, выпуклость конструкции не может зависеть от непрерывности. Во-вторых, ну сгладьте чуть-чуть фронты этих импульсов -- ничего принципиально не изменится.

В-третьих, вы говорили "в лоб". А как, собственно? Ну разобьёте Вы $g(tx+(1-t)y)$ на два слагаемых. Но ведь по отношению к числу $(tx+(1-t)y)$ одно из чисел $x,\ y$ больше, а второе -- меньше. Поэтому в одном из слагаемых супремум будет оцениваться в правильную сторону, но в другом-то в неправильную.