Вычислить норму

[kekocaumay]

Помогите мне вычислить норму оператора А, действующего из Х в Y.
1) $A : C^1 [ 0;1] \to C[0;1]$, $Ax(t) = x'(t)$ где $\left\| x\right\| = \left\| x\right\|_{\infty } + \left\| x ' \right\|_{\infty } \, , \, \forall x \in C^1 [0,1]$

2) $A : L^2 [0;1] \to L^2 [0;1]$ , $Ax(t) = \int_0^t e^t x(s) ds $.

[id]

1) Можно оценить норму сверху единицей.
Затем - построить последовательность непрерывно-дифференциируемых функций, с ограниченной $C$ и возрастающей неограниченно $C^1$ нормой.

[kekocaumay]

Вы можете явно лучше!!

[kekocaumay]

кто помогите мне?

[id]

kekocaumay
Как это

Цитата:

Вы можете явно лучше!!

понимать?

2) Можно подумать в направлении:
Норма оператора неопределенного интегрирования в $L_2[0,1]$ равна $\frac 2 \pi$ и достигается на функции $f(t) = \cos \frac {\pi t} 2$. Норма оператора умножения на $e^t$ - так же известно, чему. Поэтому норму $A$ можно оценить сверху как произведение этих двух норм.
Далее ( не уверен ) можно вместо $f(t)$ рассмотреть последовательность $f_n(t)$, состоящую из косинусов, сдвинутых вправо на $c_n, c_n \to 1$ ( и доопределенных нулем слева на $[0,c_n]$ ), сжатых по оси $t$ так, чтобы на $[c_n,1]$ по прежнему укладывалась четвертинка периода косинуса.

[ewert]

id писал(а):

Далее ( не уверен ) можно вместо $f(t)$ рассмотреть последовательность $f_n(t)$, состоящую из косинусов, сдвинутых вправо на $c_n, c_n \to 1$ ( и доопределенных нулем слева на $[0,c_n]$ ), сжатых по оси $t$ так, чтобы на $[c_n,1]$ по прежнему укладывалась четвертинка периода косинуса.

Боюсь, что такими дешёвыми трюками -- срезками да доопределениями -- тут не отделаешься. Тут придётся решать вполне конкретную задачу типа Штурма-Лиувилля: $-u''=\lambda\,e^{2t}u$ с граничными условиями $u(0)=0$ и $u'(1)=0$ (если по обыкновению перепутал какой знак, то прошу пардону, но здесь это не принципиально). Минимальная лямбда, собственно, и породит норму оператора, но её придётся считать именно честно, а уравнение, как мне кажется, в элементарных функциях не разрешимо.

И ещё боюсь, что в задачке никаких таких изысков не предполагалось, а предполагалось найти вместо нормы оператора в $L_2$ его норму Гильберта-Шмидта: $\|A\|_{HS}\equiv\sqrt{\|A^*A\|_{L_2}}$, которая считается вполне явно и легко.

[id]

Хм, действительно. По крайней мере, довести этот первичный фокус до построения исходной последовательности что-то не выходит.

[ASA]

Норму оператора в задаче 2 можно оценить сверху:

$$\|Ax\|^2=\int_0^1\left[\int_0^t e^tx(s)ds\right]^2 dt\leqslant \int_0^1 e^{2t}\int_0^t 1ds\int_0^t x^2(s)ds\, dt= $$

$$ =\int_0^1\int_0^t te^{2t} x^2(s)dsdt=\int_0^1\int_s^1 te^{2t} x^2(s)dtds \leqslant\int_0^1 te^{2t} dt\int_0^1 x^2(s)ds=\frac{e^2+1}{4}\|x\|^2. $$

Отсюда, $\|A\|\leqslant\frac{\sqrt{e^2+1}}{2}$.

[kekocaumay]

ASA писал(а):

Норму оператора в задаче 2 можно оценить сверху:

$$\|Ax\|^2=\int_0^1\left[\int_0^t e^tx(s)ds\right]^2 dt\leqslant \int_0^1 e^{2t}\int_0^t 1ds\int_0^t x^2(s)ds\, dt= $$

$$ =\int_0^1\int_0^t te^{2t} x^2(s)dsdt=\int_0^1\int_s^1 te^{2t} x^2(s)dtds \leqslant\int_0^1 te^{2t} dt\int_0^1 x^2(s)ds=\frac{e^2+1}{4}\|x\|^2. $$

Отсюда, $\|A\|\leqslant\frac{\sqrt{e^2+1}}{2}$.

Когда $\left\| A \right\| = \frac{{\sqrt {e^2 + 1} }}{2}$

[ewert]

kekocaumay писал(а):

ASA писал(а):

Норму оператора в задаче 2 можно оценить сверху:

$$\|Ax\|^2=\int_0^1\left[\int_0^t e^tx(s)ds\right]^2 dt\leqslant \int_0^1 e^{2t}\int_0^t 1ds\int_0^t x^2(s)ds\, dt= $$

$$ =\int_0^1\int_0^t te^{2t} x^2(s)dsdt=\int_0^1\int_s^1 te^{2t} x^2(s)dtds \leqslant\int_0^1 te^{2t} dt\int_0^1 x^2(s)ds=\frac{e^2+1}{4}\|x\|^2. $$

Отсюда, $\|A\|\leqslant\frac{\sqrt{e^2+1}}{2}$.

Когда $\left\| A \right\| = \frac{{\sqrt {e^2 + 1} }}{2}$

Никогда. Это и есть та самая норма Гильберта-Шмидта, которая всегда строго больше $L_2$-нормы (за исключением одного ну очень уж исключительного случая).

[ASA]

Согласен с ewert. $\|A\|=\sqrt \lambda$, где $\lambda$ -- максимальное собственнное значение оператора $A^\ast A$, но искать собств.значения таких операторов -- дело неблагодарное. Хотя, с другой стороны, операторы довольно стандартные и наверняка что-то можно найти в учебниках.

[ewert]

Так я ж сказал, что надо делать для поиска с.ч. -- решать соотв. дифур. А он явно (в элементарных функциях) не решается.

[ASA]

Так и я написал, что согласен.

[ewert]

тогда зачем "искать в учебниках", если заведомо ничего большего не найдёшь?

[ASA]

Равенство $A^\ast Ax=\lambda x$ равносильно $x''=2x'-e^{2t}x/\lambda$, $x(1)=0$, $x'(0)=0$. Не уверен, что нельзя решить в элементарных функциях, хотя и не настаиваю. Самому решать лень. Потому и предлагал заглянуть в учебник.