Вычислить норму

[Алексей К.]

ASA в сообщении #190685 писал(а):

Самому решать лень

Лениться на форуме запрещено, модератор может наказать...

[ewert]

ASA писал(а):

Равенство $A^\ast Ax=\lambda x$ равносильно $x''=2x'-e^{2t}x/\lambda$, $x(1)=0$, $x'(0)=0$. Не уверен, что нельзя решить в элементарных функциях, хотя и не настаиваю. Самому решать лень. Потому и предлагал заглянуть в учебник.

Что-то странная у Вас задачка вышла (на мой взгляд). На всякий случай приведу свой вариант решения. Во-первых, я его толком ещё не приводил. Во-вторых, комбинация приёмов там довольно стандартна, а значит, кому-то может и оказаться полезной. В-третьих, совсем уж универсальных приёмов тут нет, и найти что-то в сконцентрированном виде, возможно, не так и просто. Ну и в-четвёртых -- почему бы и самого себя не перепроверить.

Имеем оператор $A=EB$, где $E$ -- это оператор умножения на экспоненту $e^t$ и $B$ -- оператор интегрирования: $u\mapsto v(t)=\int_0^tu(s)ds$. Тогда

$$ \|A\|^2=\sup\limits_u{\|EBu\|^2\over\|u\|^2}=\sup\limits_v{\|v\|^2\over\|B^{-1}E^{-1}u\|^2}=\left[\inf\limits_v{(E^{-1}{B^{-1}}^*B^{-1}E^{-1}v,\;v)\over\|v\|^2}\right]^{-1}.$$

Оператор $A=EB$ компактен и невырожден (почему -- разговор отдельный, но это обстоятельство здесь принципиально). Это переносится и на оператор $A\,A^*=EBB^*E.$ Соответственно, обратный оператор $E^{-1}{B^{-1}}^*B^{-1}E^{-1}$ (будучи самосопряжённым и положительным) имеет чисто дискретный спектр. Поэтому инфимум в последнем выражении выделенной строчки есть наименьшее собственное число этого обратного оператора. Т.е. наименьшая лямбда, для которой выполняется нетривиальное равенство $E^{-1}{B^{-1}}^*B^{-1}E^{-1}\,u=\lambda\,u$ -- при условии, что $u$ входит в область определения этого оператора. Естественной заменой $E^{-1}u=v$ это уравнение переводится в ${B^{-1}}^*B^{-1}\,v=\lambda\,e^{2t}v.$

Здесь $B^{-1}$ -- это оператор дифференцирования, для которого поставлено краевое условие $v(x)=0$ при $x=0$. Соответственно, ${B^{-1}}^*$ -- это минус оператор дифференцирования, для которого нулевое граничное условие поставлено, наоборот, в точке $x=1$ (почему -- вопрос опять же отдельный и опять же вполне стандартный, а несущественные требования гладкости мы гордо игнорируем). Поэтому для принадлежности $v$ области определения оператора ${B^{-1}}^*B^{-1}$ нужно, чтобы было $v\big|_{x=0}=0$ и $v'\big|_{x=1}=0.$

Вот так и выходим на краевую задачу:

$$\begin{cases}-v''=\lambda\,e^{2t}v, \\ v(0)=0, \ \ v'(1)=0.\end{cases}$$

И, подводя итоги: если лямбда -- наименьшее собственное число этой задачи, то единица на корень из лямбды -- это норма исходного оператора.

[ASA]

ewert в сообщении #190709 писал(а):

Что-то странная у Вас задачка вышла (на мой взгляд).

Ничего странного. Если $Ax(t)=\int_0^t e^t x(s)ds$, то $z=A^\ast y(t)=\int_t^1 y(\tau)e^\tau d\tau$. Тогда $z=A^\ast Ax(t)=\int_t^1 e^{2\tau}\int_0^\tau x(s)dsd\tau$.
Откуда, $z'=-e^{2t}\int_0^t x(s)ds$ и $z''=-2e^{2t}\int_0^t x(s)ds-e^{2t}x(t)=2z'-e^{2t}x(t)$. Далее, положив $z=\lambda x$ имеем уравнение $x''=2x'-e^{2t}x/\lambda$ с краевыми условиями $x(1)=0$, $x'(0)=0$. Думаю, что это уравнение приводится к Вашему какой-либо заменой, а собств.числа ($\lambda$) должны быть одинаковыми (только мое $1/\lambda$ - это Ваше $\lambda$).