лемма Рисса о почти перпендикуляре

[Linderberg]

Эту лемму легче всего понять при рассмотрении плоскости с заданной системой координат, где проведена произвольная прямая через начало координат. Тогда проведем единичный вектор Y из нулевой точки перпендикулярно к нашей прямой и еще раз внимательно взглянем на формулировку теоремы, которую услужливо предоставил Утундрий в пятом по счете комментарие. Неформально это можно объяснить так: выбором точки Х на прямой (которая автоматически задает вектор на плоскости) мы можем как угодно близко приблизить вектор X-Y к вектору Y , который в свою очередь и является перпендикуляром. Отсюда и название данной теоремы.

[ewert]

Логика названия такова. Перпендикуляр к подпространству в обычном смысле (в смысле гильбертовых пространств, точнее в смысле пространств со скалярным произведением) -- это элемент копроекции к подпространству, т.е. второе слагаемое в разложении $x=z+y$, где $z$ принадлежит подпространству, $x$ не принадлежит и при этом $z\perp y$. Именно в таком порядке, поскольку до теоремы о проекции понятие ортогонального дополнения ещё не определено.

С другой стороны, если уж понятие копроекции уже введено, то этот элемент минимизирует расстояние от $x$ до подпространства, и обратно: минимизирующий элемент -- это обязательно копроекция. Говоря формально -- получается определение копроекции, эквивалентное предыдущему.

Так вот, в нормированных пространствах скалярного произведения нет и поэтому первый вариант определения перпендикуляра лишён смысла абсолютно. Второй же -- лишь относительно: если даже и не удастся минимизировать расстояние до подпространства в точности, то можно хотя бы надеяться сделать это сколь угодно точно. (Другое дело, что, в отличие от гильбертова случая, тут нет, вообще говоря, однозначности.)

[sergei1961]

Можно и так сказать: перпендикуляр в обычном пространстве (Гильберта)-это часто решение некоторых уравнений или экстремальных задач. Тогдва в более общем пространстве у тех же задач есть "почти решения".

[Keldibay Alymkulov]

Об этой лемме очент хорошо написана в книге Bryan P.Rynne and Martin A. Youngson " linear Funtional Analysis", стр. 47.