2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Мощность множеств. Не могу разобраться (счетные, континуум)
Сообщение25.02.2009, 16:38 


20/11/08
29
Пусть $N$ - счётное множество.
Рассмотрим следующее объединение: $\{N\}\cup\{N\times N\}\cup\{N\times N \times N\}\cup\{N^4\}\cup...$
Оно счётно, так как является объединением счетного числа счётных множеств вида $N^k$.

Мне кажется, что это множество равномощно $N^N$ - множеству всех бесконечных последовательностей натуральных чисел. Которое, в свою очередь, расномощно континууму.
Значит, всё-таки, объединение счетного числа множеств вида $N^k$ не равномощно $N^N$. Не понимаю почему.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
А мне кажется, что Вы получили множество всех конечных последовательностей, которое счётно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 16:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Если бы $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}\mathbb{N}^k$ было равномощно $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, то каждой бесконечной последовательности натуральных чисел можно было бы поставить в соответствие конечную.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 16:55 


20/11/08
29
gris писал(а):
А мне кажется, что Вы получили множество всех конечных последовательностей, которое счётно.


Ну я это и предполагал, но всё таки решил написать вопрос, чтобы убедиться точно.
А тогда получается что множество $\{1\}\cup\{1,2\}\cup\{1,2,3\}\cup...$ это не тоже самое, что множество натуральных чисел и не равномощно $N$. Или нет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Из того, что $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}k=\mathbb{N}$ не следует, что $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}\mathbb{N}^k=\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 17:04 
Аватара пользователя


23/02/09
259
что такое мощность?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 17:05 


20/11/08
29
worm2 писал(а):
Из того, что $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}k=\mathbb{N}$ не следует, что $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}\mathbb{N}^k=\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$.


Правильно ли рассуждать так?
Каждый элемент множества $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}k$ принадлежит множеству $N$, и наоборот.
А для $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ ни один его элемент не принадлежит $\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}\mathbb{N}^k$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
я согласен со следующим оратором :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Можно так рассуждать. Только следует помнить, что наше построение является не строгим рассуждением, а лишь попыткой понять, почему дело обстоит так, а не иначе, на интуитивном уровне. Для строгого доказательства неравномощности нужно использовать диагональный процесс.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 17:49 
Аватара пользователя


23/02/09
259
Апофеоз Здравого Смысла в сообщении #189475 писал(а):
А тогда получается что множество $\{1\}\cup\{1,2\}\cup\{1,2,3\}\cup...$ это не тоже самое, что множество натуральных чисел

нет это и есть множество натуральных чисел $N \subset \{1\}\cup\{1,2\}\cup\{1,2,3\}\cup...\subset N$

Добавлено спустя 35 минут 25 секунд:

поняла что такое мощность:)
Апофеоз Здравого Смысла в сообщении #189471 писал(а):
$N^N$ - множеству всех бесконечных последовательностей натуральных чисел. Которое, в свою очередь, расномощно континууму.

$N^N$ -не может быть равномощной континууму :roll: и таковой не являеться

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Лиля, Вам надо отметиться в форуме "Дискуссионные темы". Там можно опровергнуть континуум-гипотезу, поутверждать, что множество действительных чисел счётно и даже доказать ВТФ с помощью паяльника.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Лиля в сообщении #189484 писал(а):

$N^N$ -не может быть равномощной континууму Rolling Eyes и таковой не являеться

Почему же не является, вполне себе континуум.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 18:04 
Аватара пользователя


23/02/09
259
зачем опровергать -вы ж сами ее ток что опровергли ВАШУ гипотизу...
ведь ясно что как написанно в 1ом посте
Апофеоз Здравого Смысла в сообщении #189471 писал(а):
Пусть $N$ - счётное множество.
Рассмотрим следующее объединение: $\{N\}\cup\{N\times N\}\cup\{N\times N \times N\}\cup\{N^4\}\cup...$
Оно счётно, так как является объединением счетного числа счётных множеств
-являеться счетным а континиум -являеться как известно не счетным ну и что там ВАМ еще опровергать? занч континуум и $N^N$ не могут быть равномощными...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Лиля писал(а):
$N^N$ -не может быть равномощной континууму :roll: и таковой не являеться

Любой десятичной дроби из (0,1) соответствует бесконечная последовательность нат. чисел.
Лиля, Вы прикалываетесь? :twisted:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2009, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Лиля в сообщении #189499 писал(а):
занч континуум и $N^N$ не могут быть равномощными...

$\mathbb{N}^\mathbb{N} \neq \bigcup_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{N}^i$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group