Оценка интеграла

[matan]

Помогите оценить сверху интеграл:
$\int\limits_{a}^{A}cos(x/y)dx$, где $A>0$ и
$y\in(0,\infty)$

[gris]

А сделать замену $t=x/y$?
$\int\limits_{a/y}^{A/y}ycos(t)dt =ysin(A/y) - ysin(a/y)$

[ewert]

$\leqslant\min\{2y;\;A-a\}$

[matan]

Мне нужно оценить его константой, а $A-a$ не является таковой

[gris]

$\int\limits_{-\pi y/2}^{\pi y /2}cos(x/y)dx =2y$

Добавлено спустя 9 минут 22 секунды:

То есть при заданном $y$ можно указать такие пределы интегрирования, что величина интеграла будет равна $2y$.
ТО есть её нельзя сверху ограничить числом, не зависящим от $y$

[ewert]

можно, он в любом случае меньше длины проиежутка

[matan]

А как найти эту константу???

[gris]

Так от чего не должна зависеть константа? Если А и а фиксированы, а $y$ меняется, то ...

[ewert]

Какую константу?
Без дополнительных предположений насчёт параметров -- никак, ибо оценка

Цитата:

$\leqslant\min\{2y;\;A-a\}$

-- точная.

[matan]

А если взять $y\in(0,15)$

[gris]

А пределы интегрирования как меняются?

[matan]

a--фиксировано
А--произвольное число больше нуля

[gris]

Если их можно двигать, как угодно, то интеграл будет $\leqslant 30$

Добавлено спустя 4 минуты 30 секунд:

Если а фиксированно, то будет зависеть от а. Например, если а=0, то верхняя грань $y$.

Добавлено спустя 5 минут 1 секунду:

Надо поформальнее записать. Например, найти $\sup \limits_{y>0;A>0} \int...$
Константы вообще ни от чего не зависящей не получится.

[matan]

Будет ли справедливо такое утверждение:

\[ \begin{gathered} \forall B > 0\exists y \in (0, + \infty ):\mathop {\sup }\limits_{y \in (0, + \infty )} \left| {\int\limits_B^{ + \infty } {\frac{{\cos {\raise0.7ex\hbox{$x$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {x y}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$y$}}}} {{\sqrt x }}} dx} \right| = \mathop {\sup }\limits_{y \in (0, + \infty )} \left| {\sqrt y \int\limits_{{\raise0.7ex\hbox{$B$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {B y}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$y$}}}^{ + \infty } {\frac{{\cos t}} {{\sqrt t }}} dt} \right| \geqslant \mathop {\left. {\left| {\sqrt y \int\limits_{{\raise0.7ex\hbox{$B$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {B y}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$y$}}}^{ + \infty } {\frac{{\cos t}} {{\sqrt t }}} dt} \right|} \right|}\nolimits_{y \to + \infty } = \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \sqrt y \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos t}} {{\sqrt t }}} dt = + \infty \hfill \\ \end{gathered} \]

[ewert]

Начнём с того, что неверна уже комбинация

matan писал(а):

\[ \begin{gathered} \exists y \in (0, + \infty ):\mathop {\sup }\limits_{y \in (0, + \infty )}\end{gathered} \]