2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Оценка интеграла
Сообщение19.02.2009, 16:16 
Аватара пользователя
Помогите оценить сверху интеграл:
$\int\limits_{a}^{A}cos(x/y)dx$, где $A>0$ и
$y\in(0,\infty)$

 
 
 
 Re: Оценка интеграла
Сообщение19.02.2009, 16:35 
Аватара пользователя
А сделать замену $t=x/y$?
$\int\limits_{a/y}^{A/y}ycos(t)dt =ysin(A/y) - ysin(a/y)$

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 16:46 
$\leqslant\min\{2y;\;A-a\}$

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 16:51 
Аватара пользователя
Мне нужно оценить его константой, а $A-a$ не является таковой :(

 
 
 
 Re: Оценка интеграла
Сообщение19.02.2009, 17:08 
Аватара пользователя
$\int\limits_{-\pi y/2}^{\pi y /2}cos(x/y)dx =2y$

Добавлено спустя 9 минут 22 секунды:

То есть при заданном $y$ можно указать такие пределы интегрирования, что величина интеграла будет равна $2y$.
ТО есть её нельзя сверху ограничить числом, не зависящим от $y$

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 17:15 
можно, он в любом случае меньше длины проиежутка

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 17:16 
Аватара пользователя
А как найти эту константу???

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 17:20 
Аватара пользователя
Так от чего не должна зависеть константа? Если А и а фиксированы, а $y$ меняется, то ...

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 17:21 
Какую константу?
Без дополнительных предположений насчёт параметров -- никак, ибо оценка

Цитата:
$\leqslant\min\{2y;\;A-a\}$

-- точная.

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 17:24 
Аватара пользователя
А если взять $y\in(0,15)$ :?:

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 17:32 
Аватара пользователя
А пределы интегрирования как меняются?

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 17:34 
Аватара пользователя
a--фиксировано
А--произвольное число больше нуля

 
 
 
 
Сообщение19.02.2009, 17:45 
Аватара пользователя
Если их можно двигать, как угодно, то интеграл будет $\leqslant 30$

Добавлено спустя 4 минуты 30 секунд:

Если а фиксированно, то будет зависеть от а. Например, если а=0, то верхняя грань $y$.

Добавлено спустя 5 минут 1 секунду:

Надо поформальнее записать. Например, найти $\sup \limits_{y>0;A>0} \int...$
Константы вообще ни от чего не зависящей не получится.

 
 
 
 
Сообщение23.02.2009, 16:31 
Аватара пользователя
Будет ли справедливо такое утверждение:
\[
\begin{gathered}
  \forall B > 0\exists y \in (0, + \infty ):\mathop {\sup }\limits_{y \in (0, + \infty )} \left| {\int\limits_B^{ + \infty } {\frac{{\cos {\raise0.7ex\hbox{$x$} \!\mathord{\left/
 {\vphantom {x y}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$y$}}}}
{{\sqrt x }}} dx} \right| = \mathop {\sup }\limits_{y \in (0, + \infty )} \left| {\sqrt y \int\limits_{{\raise0.7ex\hbox{$B$} \!\mathord{\left/
 {\vphantom {B y}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$y$}}}^{ + \infty } {\frac{{\cos t}}
{{\sqrt t }}} dt} \right| \geqslant \mathop {\left. {\left| {\sqrt y \int\limits_{{\raise0.7ex\hbox{$B$} \!\mathord{\left/
 {\vphantom {B y}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$y$}}}^{ + \infty } {\frac{{\cos t}}
{{\sqrt t }}} dt} \right|} \right|}\nolimits_{y \to  + \infty }  =  \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{y \to  + \infty } \sqrt y \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos t}}
{{\sqrt t }}} dt =  + \infty  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

 
 
 
 
Сообщение23.02.2009, 16:35 
Начнём с того, что неверна уже комбинация
matan писал(а):
\[
\begin{gathered}
 \exists y \in (0, + \infty ):\mathop {\sup }\limits_{y \in (0, + \infty )}\end{gathered} 
\]

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group