Правильность вычислений дифференциала

[Alexey1]

Скажите правильна ли будет следующая запись
$d (\int_{a}^{b} f(x) dx)=(b-a)df(x)$
И есть ли какие-нибудь ещё ограничения на $f(x)$ кроме дифференцируемости?

[ewert]

эту запись никак нельзя назвать неправильной -- она попросту бессмысленна. Хотя бы потому, что в левой части стоит дифференциал от константы (т.е. 0), в правой же неожиданно возникает некий икс, ни малейшего отношения к иксам в левой части не имеющий и иметь заведомо не могущий.

[Alexey1]

Вы имеете ввиду, что запись $d(\int_a^b f(x)dx)=(b-a)df$ верна?

[ewert]

я имею в виду, что она бессмысленна -- и, следовательно, разговор о её верности или неверности тоже лишён смысла.

Так, для затравки: а что такое дифференциал, собственно говоря?

[Alexey1]

Это линейная часть приращения функции. Необходимо определить чувствительность данного интеграла к изменению подинтегральной функции, то есть найти производную по подинтегральной функции.

[gris]

Может быть у Вас есть параметр в функции и Вы имели в виду дифференцирование по нему?

[Alexey1]

Так в том то и дело, что параметра нет. Необходимо найти как изменится значение интеграла при изменении всей подинтегральной функции на маленькое значение, то есть всю функцию опускаем или поднимаем на это маленькое значение. Ну и затем переходим к пределу, что и должно быть этой производной.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #186330 писал(а):

Это линейная часть приращения функции.

Да, но после того, как Вы определённый интеграл выписали -- это уже никакая не функция, а попросту константа.Дифференциал от которой равен просто нулю.

Если же Вы пытаетесь варьировать саму подынтегральную функцию , т.е. заниматься вариационным исчислением -- то это совсем другая тема. И техника там совсем другая.

[Alexey1]

А какая техника в этом случае? Как определить этот дифференциал?

[gris]

Но так это и будет параметром.
Функцию можно изменять так: $f(x)+p$ или $f(x) + \epsilon (p)$ или еще как.
Вы, я понял, имеете в виду как раз первое.

[Alexey1]

Совершенно верно, я имею ввиду первое. Ну вот только если считать как Вы предложили, то получается, что дифференциал равен $(b-a)df$.

[gris]

Только не $df$, а $dp$... И особого смысла в этом нет, если Вы не подразумевали нечто более сложное.

[ewert]

ничего подобного, в первом случае дифференциал будет равен просто $(b-a)dp$, но практическая польза от этого равна нулю, и с очень хорошей точностью

(пардон за дубляж)

[Alexey1]

Скажите а имеет ли смысл такое определение $\frac {d(\int_a^b f(x)dx)} {df} = \lim\limits_{p \to 0} \frac {\int_a^b (f(x)+p)dx-\int_a^b f(x)dx} {p}$

[ewert]

нет, не имеет, и категорически не имеет. Производная по своему смыслу -- предел приращений при всевозможных приращениях знаменателя. А вовсе не только при приращениях, сводящихся к сдвигам. Т.е. если производная в данном случае и имеет смысл, то это -- вовсе не число, и даже не функция, а некоторый линейный оператор, действуюший на приращение функции.