Обратная функция

[MarinaV]

Подскажите, пожалуйста, можно ли получить аналитическое выражение обратной функции к следующей:
f(x)=sin(x)+x+C?

[ewert]

Нельзя. Если, конечно, не считать аналитическим выражение (близкое к матерному) "функция, обратная к $f(x)=sin(x)+x+C$" ...

[--mS--]

ewert писал(а):

Нельзя. Если, конечно, не считать аналитическим выражение (близкое к матерному) "функция, обратная к $f(x)=sin(x)+x+C$" ...

Зато вот так звучит уже почти прилично: "функция, обратная к $f(x)=\sin(x)+x+C$"

[Nxx]

Конечно, можно. Разложите в ряд Тейлора и будет вам аналитическое выражение. Еще можно по формуле Лагранжа разложить.

[gris]

Вопрос что считать аналитическим выражением. Символическое конечное представление с использованием установленного набора элементарных функций?

То есть ни интегралы, ни ряды, ни вновь поименованные функции не могут входить в аналитическое представление?

[--mS--]

Nxx писал(а):

Конечно, можно. Разложите в ряд Тейлора и будет вам аналитическое выражение. Еще можно по формуле Лагранжа разложить.

Вы не могли бы выписать нулевой член этого разложения?

[gris]

А откуда взялось $C$? Не после неопределённого интегрирования $g(x)=1+\cos x$?

[Nxx]

Две формулы на выбор:

(1)

$$ f^{[-1]}(x) = \sum_{k=0}^\infty A_k(x) \frac{(x-f(x))^k}{k!}, $$

где

$$A_k$$

задаются рекурсивно:

$$ A_k(x)=\begin{cases} A_0(x)=x \\ A_{n+1}(x)=\frac{A_n'(x)}{f'(x)}\end{cases} $$

(2)

$$ \left. f^{[-1]}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\left(\left( \frac{x}{f(x)-f(0)} \right)^n \right)^{(n-1)}\circ 0\right) {\frac{(x-f(0))^n}{n!}}. $$

[--mS--]

А куда константа подевалась?

[MarinaV]

Да, собственно говоря, С получена в результате интегрирования $g(x) = 1 + \cos (x) $!.
Спасибо за ответы. Я тоже остановилась на предложенном Nxx варианте (1), найденном в Википедии.

[gris]

Готов поспорить, что MarinaV просто решала дифур

$\frac{dx}{dt}=\frac {1}{1+cosx}$

[MarinaV]

В общем, нет... Хотела смоделировать методом Монте-Карло некоторое распределение (1+cos(x)), для этого необходима была обратная функция. Но вот обошлась, пошла другим путем, правда получилось распределение немного несимметричное (хвост со стороны положительных значений немного "длиннее") -незначительно, но исправить нужно.

[ewert]

вообще-то если говорить о Монте-Карле для моделирования самого распределения, то это -- метод приёма-отклонения, и обратная функция для него не нужна.

[gris]

просветите, плз.
$1+\cos x$ это плотность нужного распределения на $[-\pi;\pi]$? Ну с учётом множителя $1/{2 \pi)$?
То есть функция распределения будет $F(x)=\frac{1}{2 \pi}\cdot \left( x+ \sin x +\frac {1}{2}\right )$?
Мы берём равномерно распределённое на [-\pi;\pi] псевдослучайное число $t$ и вычисляем $x$ так, что $F(x)=t$. Тогда $X$ будет распределено по закону $F(x)$.
Тут высокая точность не нужна и можно действительно использовать несколько членов ряда Тейлора. Ну или численно решать уравнение каждый раз.

[мат-ламер]

Для моделирования Вам вовсе не обязательно искать обратную функцию аналитически.Можно обойтись подпрограммой, которая бы искала корни соответствуего выражения (если это не замедлит процесс моделирования). Или аппроксимировать обратную функцию сплайном.

Добавлено спустя 2 минуты 37 секунд:

Пока писал сообщение, появилось предыдущее (которое я не видел). Поэтому получился повтор мысли.