Эллипс

[Yu_K]

Интересно - получается, что исходный равносторонний треугольник вписанный в окружность можно расположить под разными углами к осям системы координат - потом его растягивать вместе с окружностью до определенного заранее эллипса - при этом площадь растянутого будет оставаться постоянной не зависимо от его начального положения внутри окружности (хотя получаться будут разные треугольники при различных начальных положениях исходного треугольника). Т.е. здесь нет единственного решения (треугольники разные - но площадь их одна и та же - вроде

$$\frac{3 \sqrt{3}*a*b}{4}}$$

?

И получается таким способом можем найти максимальный по объему параллелепипед, вписанный в эллипсоид с осями (a,b,c) - вписать в сферу куб - а потом сферу растянуть?

[gris]

Ну разумеется. При растяжении в одном направлении в $k$ раз, все площади увеличиваются ровно в $k$ раз. И треугольников с максимальной площадью $S= \frac ab \cdot \frac {\sqrt {3} b^2} {4}= \frac {\sqrt {3} ab} {4}$ будет целая куча.
И с параллелепипедом то же самое. Только прямоугольный будет один, а остальные наклонные. $V=\frac {8} {3\sqrt 3}abc$

[Yu_K]

Интуитивно хотелось бы симметрии в ответе про максимальный треугольник - а оказывается это не обязательно.

[vvvv]

Ответ таков.
Любой треугольник, вписанный в эллипс с координатами
соответствующими значению параметра
t=a+(2/3)pi*n ;n=1,2,3
a- любое вещественное число.
Будет иметь одну и ту же максимальную площадь.
см.пример.

[Yu_K]

В принципе внутри есть еще один эллипс, которого стороны треугольников максимальной площади касаются - аналогично http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

[vvvv]

Вписанные многоугольники также обладают этим свой ством, помимо площадей у них равны также периметры.