рекуррентное уравнение

[mkot]

Рассмотрим случай $k=1$.
Имеем
$i_{n+1} =i_n + i_n(1-(i_n + 1 - m))$,
$i_{n+1}=i_n+i_n(-i_n+m)$,
$i_{n+1}=i_n-i_n^2+mi_n$,
$i_{n+1}=(1+m)i_n-i_n^2$,
$i_{n+1}=\left(\frac{m+1}{2}\right)^2 - \left(\frac{m+1}{2}-i_n\right)^2$.
Введём новое обозначение: $j_n := \frac{m+1}{2} - i_{n}$, откуда
$\frac{m+1}{2} - j_{n+1} = \left(\frac{m+1}{2}\right)^2 - j_n^2$,
$j_{n+1} = \frac{m+1}{2} -\left(\frac{m+1}{2}\right)^2 + j_n^2$.
Обозначая $c:=\frac{m+1}{2} -\left(\frac{m+1}{2}\right)^2$, получим
$j_{n+1} = j_n^2 + c$.
Теперь читаем на Wolfram MathWorld:

Цитата:

The well-known recurrence
$x_{n+1}=x_n^2+c$
that is often called "the" quadratic map is not in general solvable in closed form.

Если нигде не ошибся...

[photon]

Только для $k=1$ мало.

Можно ли найти еще хотя бы для $k=5$, $k=10$?

[mkot]

photon писал(а):

Только для $k=1$ мало.

Можно ли найти еще хотя бы для $k=5$, $k=10$?

А что искать-то? В предыдущем сообщении я постарался показать, что
даже в простейшем случае $k=1$ всё сводится к задаче, решение которой известно лишь только в частных случаях. В случаях же $k>1$, по-моему, лучше не будет (.
Так что моё мнение (если оно кому-нибудь интересно): бессмыслено искать аналитическое выражение.

А если пытаться упростить исходное выражение, то напрашивается замена $j_n:=i_n + 1 - m$,
но погоды она не сделает.

[Gortaur]

Возможно, стоит рассмотреть диф.ур. близкий к этому дискретному уравнению?

[Архипов]

mkot в сообщении #182914 писал(а):

Так что моё мнение (если оно кому-нибудь интересно): бессмыслено искать аналитическое выражение.

Согласен с этим мнением.
1) Дана формула вычисления ряда значений (прогрессии).
Можно вычислить все члены прогрессии либо один (последний) член.
2) Дан дополнительный (переменный) параметр $m$. Получится двумерная таблица прогрессий либо столбик последних членов.
3) Дан второй переменный параметр $k$. Получится техмерная таблица прогрессий либо двумерная таблица последних членов.

[LynxGAV]

Gortaur писал(а):

Возможно, стоит рассмотреть диф.ур. близкий к этому дискретному уравнению?

Мне так сдается, что в общем случае диф. уравнение тут может не прокатить, потому что ничего не сказано о времени. Видно, что при определенных нач. условиях $i_n$ растет дюже быстро и потому время никак не будет инфинитезимальным, если потребуется всего штук 25 итераций, к примеру.

[Nik_Svan]

mkot писал(а):

бессмыслено искать аналитическое выражение.

Можно найти приближенное аналитическое решение.

[AD]

mkot писал(а):

$j_{n+1} = j_n^2 + c$.

Это ж мандельбротина!!

[mkot]

AD писал(а):

mkot писал(а):

$j_{n+1} = j_n^2 + c$.

Это ж мандельбротина!! :shock: :idea: :!:

Ну, если перейти в комплексную плоскость, то да. А что удивительного?

[AD]

Ну просто. Выскочило же оно вот из реальной физической (я ничего не путаю?) задачки. Можно не просто услышать, что "не solvable", но и наглядно понять, с чем photon связался ...