Есть ли простая формула для корня многочлена?

[TOTAL]

$$P(x) = (b^2-a^2)x^2(x-t)^2 +a^4x^2 - b^2R^2(x-t)^2$$

$$0<a<b, \; 0<t<R+a,$$

$$t-$$

известный параметр.

Для нахождения корня (который

$$a<x<t$$

) этого многочлена есть какая-нибудь простая формула?
Все-таки он имеет частный вид. Или придется решать численно?

Уравнение получилось из попытки найти положительные координаты

$$(x, y)$$

точки внешнего касания окружности радиуса

$$R$$

с центром в начале координат и эллипса при известной горизонтальной координате (

$$t$$

) центра эллипса с полуосями

$$a, b,$$

ориентированными по осям координат.

[Taras]

Это уравнение 4 степени, для него существует "простая" формула для нахождение корней - формула Феррари:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B2%D1%91%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8

[TOTAL]

А более простой формулы нет, учитывающей частный вид уравнения?
(Из общего Феррари и численного я пока выбираю численный метод.)

[Gortaur]

почему бы не переобозначить $x^2,(x-t)^2$?

[TOTAL]

Gortaur писал(а):

почему бы не переобозначить $x^2,(x-t)^2$?

Не догадываюсь, о каком переобозначении идет речь. Что даст переобозначение?

[Алексей К.]

TOTAL писал(а):

Уравнение получилось из попытки найти положительные координаты

$$(x, y)$$

точки внешнего касания окружности радиуса

$$R$$

с центром в начале координат и эллипса при известной горизонтальной координате (

$$t$$

) центра эллипса с полуосями

$$a, b,$$

ориентированными по осям координат.

$$x^2+y^2=R^2$$

$$\dfrac{(x-t)^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$

Из этой пары ? Или я чего-то не понял? Или Вы чего-то недорассказали? Может, эллипс перемещается вдоль оси ординат, пока не коснётся окружности?

[TOTAL]

Алексей К. писал(а):

$$x^2+y^2=R^2$$

$$\dfrac{(x-t)^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$

Из этой пары ? Или я чего-то не понял? Или Вы чего-то недорассказали? Может, эллипс перемещается вдоль оси ординат, пока не коснётся окружности?

$$x^2+y^2=R^2$$

$$\dfrac{(x-t)^2}{a^2}+\dfrac{(y-p)^2}{b^2}=1$$

$$t,p>0$$

Вот эти две касаются внешним образом в первом квадранте.
Здесь

$$p$$

неизвестно, я его исключил, получилось уравнение для

$$x$$

[BVR]

А если написать уравнение касательной к одной линии и к другой. А потом потребовать, чтобы эти прямые совпали.

[ИСН]

TOTAL, Вы откапываете клад, держа лопату одной рукой. Левой.
Учтите как-нибудь факт касания (то, что написано сейчас - это пересечение), иначе ничего не получится.

[Алексей К.]

Я взял $x=R\cos \xi, \; y=R\sin\xi$, попросил, чтобы нормаль к эллипсу в этой точке была тоже $\xi$, и получилось квдратное уравнение для $\cos\xi$. Детали не привожу, ибо всё на скорую руку в обеденный перерыв, и типа сейчас самопровериться не могу.

[Алексей К.]

Пардон, где-то лопухнулся, всё не так...

[vvvv]

Схема решения задачи такова:
Во-первых, удобно уравнения окружности и эллипса
записывать в параметрическом виде.
1.Находим производную для окружности в заданной точке
(x).
2.Записываем уравнения эллипса (в параметрическом виде)
с заданными полуосями и С ЦЕНТРОМ В НАЧАЛЕ
КООРДИНАТ!
3.Находим производную уравнения эллипса и приравниваем
ее ранее найденному значению производной окружности.
Решая уравнение, найдем значение параметра, а значит и
координаты точек на эллипсе, в которых значения
производных для эллипса и окружности будут равны друг
другу. (На эллипсе таких точек будет две, - выбрать
нужную).
4.Если теперь сложить (с соответствующим знаком)
векторы (координаты точек на эллипсе и на окружности), то получим вектор, на который нужно перенести эллипс с центром в начале координат, чтобы решить задачу.Т.е. координаты найденного вектора и будут координатами центра искомого эллипса.

[vvvv]

Картинка пропала.

[vvvv]

Пример:

[TOTAL]

ИСН писал(а):

TOTAL, Вы откапываете клад, держа лопату одной рукой. Левой.
Учтите как-нибудь факт касания (то, что написано сейчас - это пересечение), иначе ничего не получится.

Как раз после учета факта касания и получается уравнение, написанное в первом посту:

$$(b^2-a^2)x^2(x-t)^2 +a^4x^2 - b^2R^2(x-t)^2=0$$

Осталось найти отсюда $x.$

vvvv писал(а):

Схема решения задачи такова:
...................
3.Находим производную уравнения эллипса и приравниваем
ее ранее найденному значению производной окружности.
Решая уравнение, найдем значение параметра, а значит и
координаты точек на эллипсе, в которых значения
производных для эллипса и окружности будут равны друг
другу. (На эллипсе таких точек будет две, - выбрать
нужную).

Горизонтальная координата центра эллипса задана, а не какая получится.