2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Найти предел
Сообщение28.01.2009, 18:00 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Подскажите какой ответ правильный. Необходимо найти предел $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0), x \in S} \frac {xy} {x^2+y^2}$, $S={{(x,y) | y=ax}}, a\neq 0$. Правильно ли что предел равен $\frac {a} {1+a^2}$. С одной стороны предел зависит от $a$ и вроде как не существует. Однако множества на котором необходимо найти предел тоже не существует, если $a$ не задано. Какой ответ является правильным?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2009, 18:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Так у Вас только один ответ. Что предел по множеству, заданному конкретным значением $a$, равен $\frac {a} {1+a^2}$.
Предела вообще, по совокупности переменных (хотя так говорят, по-моему только о непрерывности) в точке $(0;0)$ нет, функцию нельзя доопределить до непрерывной.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2009, 18:36 
Аватара пользователя


14/10/07
241
Киев, мм
$\frac a {1+a^2}$
Цитата:
С одной стороны предел зависит от $a$ и вроде как не существует
Не понял сути предложения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2009, 19:31 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Так вот и не совсем понятно какой ответ у задачи. Множество дано в общем виде и зависит от параметра, и из-за этого получается что предел тоже зависит от параметра, но предел то в одной и той же точке. Это означает что предела не существует?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2009, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Alexey1
Существует.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2009, 19:55 


12/02/08
37
Киев
замените в функции переменную у=ах и сократите числитель и знаменатель на икс в квадрате. получите выражение, которое вы уже писали.
(извините, что не использовал тэг math)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2009, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Представьте себе график этой функции. На каждом Вашем множестве она вообще постоянна. То есть постоянна на каждой прямой, проходящей через начало координат. А в начале координат функция не существует. И предела не существует. А вот почему $a$ не может равняться 0, не понятно. Это же просто ось абсцисс.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2009, 20:18 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Так получается, что ShMaxG сказал, что предел существует. Вы говорите что нет. Это как может быть?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2009, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Он сказал про предел по множеству, про что и спрашивается в задаче. На каждом множестве функция постоянна и равна некоторому значению. Предел равен этому значению. Для разных $a$ это значение разное. Ну и что?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2009, 20:30 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Ну как и что... Вы бы какой ответ к задаче указали? Там ведь спрашивается про предел функции на множестве которое дано.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2009, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
а я сказал про предел функции без ограничения на множество. Кстати, оно у Вас написано, это ограничение, не корректно.
Надо бы $(x;y) \in S$,
А ответ у Вас правильный. Зависит от $a$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2009, 20:35 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Ну то есть предел существует. Всем большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2009, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Максимум функции $y(x)=a-x^2$ равен $a$. При каждом $a$ он разный. Но это же не значит, что его нет. $a$ это параметр.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.01.2009, 18:00 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Блин! Вы че, издеваетесь?!
Предел - это единственное число. Он должен быть одним и тем же для любой последовательности точек. Вы вибираете у=ах и получаете для каждого а разные ответы. Значит предела ... (догадались?)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.01.2009, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
Sonic86
Так предела в нуле-то и нет! Поэтому он никому ничего не должен.

Добавлено спустя 4 минуты 24 секунды:

Sonic86 писал(а):
Он должен быть одним и тем же для любой последовательности точек


Для любой последовательности точек из данного множества. А у нас для любых точек нашего множества это одно и то же число, значит и предел есть. Сначала фиксируют $a$, так фиксируется множество. И предел по нему существует и единственен. Когда Вы берете разные $a$, то находите пределы по разным множествам, и не удивительно, что они могут различаться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group