Найти предел

[Alexey1]

Подскажите какой ответ правильный. Необходимо найти предел $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0), x \in S} \frac {xy} {x^2+y^2}$, $S={{(x,y) | y=ax}}, a\neq 0$. Правильно ли что предел равен $\frac {a} {1+a^2}$. С одной стороны предел зависит от $a$ и вроде как не существует. Однако множества на котором необходимо найти предел тоже не существует, если $a$ не задано. Какой ответ является правильным?

[gris]

Так у Вас только один ответ. Что предел по множеству, заданному конкретным значением $a$, равен $\frac {a} {1+a^2}$.
Предела вообще, по совокупности переменных (хотя так говорят, по-моему только о непрерывности) в точке $(0;0)$ нет, функцию нельзя доопределить до непрерывной.

[Taras]

$\frac a {1+a^2}$

Цитата:

С одной стороны предел зависит от $a$ и вроде как не существует

Не понял сути предложения.

[Alexey1]

Так вот и не совсем понятно какой ответ у задачи. Множество дано в общем виде и зависит от параметра, и из-за этого получается что предел тоже зависит от параметра, но предел то в одной и той же точке. Это означает что предела не существует?

[ShMaxG]

Alexey1
Существует.

[buddha13]

замените в функции переменную у=ах и сократите числитель и знаменатель на икс в квадрате. получите выражение, которое вы уже писали.
(извините, что не использовал тэг math)

[gris]

Представьте себе график этой функции. На каждом Вашем множестве она вообще постоянна. То есть постоянна на каждой прямой, проходящей через начало координат. А в начале координат функция не существует. И предела не существует. А вот почему $a$ не может равняться 0, не понятно. Это же просто ось абсцисс.

[Alexey1]

Так получается, что ShMaxG сказал, что предел существует. Вы говорите что нет. Это как может быть?

[gris]

Он сказал про предел по множеству, про что и спрашивается в задаче. На каждом множестве функция постоянна и равна некоторому значению. Предел равен этому значению. Для разных $a$ это значение разное. Ну и что?

[Alexey1]

Ну как и что... Вы бы какой ответ к задаче указали? Там ведь спрашивается про предел функции на множестве которое дано.

[gris]

а я сказал про предел функции без ограничения на множество. Кстати, оно у Вас написано, это ограничение, не корректно.
Надо бы $(x;y) \in S$,
А ответ у Вас правильный. Зависит от $a$.

[Alexey1]

Ну то есть предел существует. Всем большое спасибо.

[gris]

Максимум функции $y(x)=a-x^2$ равен $a$. При каждом $a$ он разный. Но это же не значит, что его нет. $a$ это параметр.

[Sonic86]

Блин! Вы че, издеваетесь?!
Предел - это единственное число. Он должен быть одним и тем же для любой последовательности точек. Вы вибираете у=ах и получаете для каждого а разные ответы. Значит предела ... (догадались?)

[ShMaxG]

Sonic86
Так предела в нуле-то и нет! Поэтому он никому ничего не должен.

Добавлено спустя 4 минуты 24 секунды:

Sonic86 писал(а):

Он должен быть одним и тем же для любой последовательности точек

Для любой последовательности точек из данного множества. А у нас для любых точек нашего множества это одно и то же число, значит и предел есть. Сначала фиксируют $a$, так фиксируется множество. И предел по нему существует и единственен. Когда Вы берете разные $a$, то находите пределы по разным множествам, и не удивительно, что они могут различаться.