Кратный интеграл в полярной системе координат

[Жек@]

ПОМОГИТЕ,ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ ПРИМЕР

\[ \iint\limits_D {ydxdy} \]

\[ x^2 + y^2 \leqslant 4x \]

\[ y + x \geqslant 0 \]

.

[Brukvalub]

Для начала, изобразите область, по которой происходит интегрирование.

[ewert]

Вы обязаны:

а). уметь рисовать картинку -- в соответствии с неравенствами в декартовых координатах; они вполне стандартны.

б). уметь переводить уравнения границ из декартовых координат в полярные.

Если то, что я сказал, загадка -- боюсь, что на дистанции мне помочь не удастся.

[Жек@]

Подскажите пожалуйста,как перевести эти декартовы координаты в полярные?

[ewert]

молча. Подставляйте $x=\rho\cos\varphi,$ $y=\rho\sin\varphi,$ -- и выйдет стандартное щастье.

[Жек@]

А какие будут пределы интегрирования в этом примере?

[ewert]

А сами думайте. Сперва нарисуйте картинку. Потом расставьте дифференциалы в стандартном порядке -- снаружи $d\varphi$, внутри $\rho\,d\rho$. Потом думайте, как внутренние пределы выражаются через $\varphi$.

[antbez]

Цитата:

и выйдет стандартное щастье

Под названием "якобиан" (вдруг спрашивавший забыл такое слово)

[PAV]

Замечание за КАПСЛОКИНГ в заголовке

[Жек@]

Проверьте, пожалуйста, правильно ли расставлены пределы? Спасибо.

\[ \iint\limits_d {ydxdy = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {d\varphi } }\int_{ - \sin \varphi - \cos \varphi }^{4\cos \varphi } {\rho ^2 \sin \varphi d\rho } \]

Добавлено спустя 3 минуты 38 секунд:

Обшиблась! вот правильный вариант! Сорри!!!!!!!!!

\[ \iint\limits_d {ydxdy = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {d\varphi } }\int_{ - \sin \varphi - \cos \varphi }^{4\cos \varphi } {\rho ^2 \sin \varphi d\rho } \]

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

Обшиблась! вот правильный вариант! Сорри!!!!!!!

\[ \iint\limits_d {ydxdy = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {d\varphi } }\int_{ - \sin \varphi - \cos \varphi }^{4\cos \varphi } {\rho ^2 \sin \varphi d\rho } \]

[ewert]

Сразу три правильных варианта -- это перебор.

К тому же и неправильных. Т.е. верхние пределы правильны, нижние -- нет.

Что из себя представляет собой Ваша область? За основу берётся, конечно, сдвинутый вправо круг, это Вы понимаете. А дальше?

[Жек@]

Я никак не могу вставить рисунок.Как это можно сделать?

Добавлено спустя 4 минуты 46 секунд:

Первый нижний предел

\[ - \pi /4 \]

[ewert]

Да.

Не надо вставлять, ситуация понятна. Так что будет внутренним нижним пределом?

[Жек@]

Не знаю(((( помогите, пожалуйста, очень надо!!

[ewert]

Я тоже не знаю, как вас учили расставлять пределы. А нормальная процедура такова. Рисуем на картинке какую-либо произвольную линию, пересекающую область, на которой внешняя переменная фиксирована. А внутренняя переменная, естественно, при движении вдоль этой линии меняется. Вот и смотрим: при каком значении внутренней переменной мы входим в область, а при каком -- выходим (эти значения, вообще говоря, будут зависеть от внешней переменной, но в частности могут и не зависеть).

Вот и нарисуйте такую линию. Что она из себя представляет?