Биномиальное распределение

[antbez]

При каком $a$ вероятность того, что случайная величина, биномиально распределённая с параметрами $(n,p)$, попадёт в интервал $[np-0.01n^a,np+0.01n^a]$ и при фиксированном $p$ и $n \to \infty$ будет стремиться к 0?

Как я понимаю, это- доверительный интервал длоя матожидания. Но что мне это даёт? Надо применить какие-то предельные теоремы?

[PAV]

Замечание по поводу оформления формул: даже отдельные переменные ($a$ и $(n,p)$) оформляйте как формулы, чтобы они отображались правильно, как написано в этой теме. Сейчас я Ваше сообщение поправил.

Замечание по формулировке вопроса: стремиться к нулю должна все-таки вероятность. Только вероятность чего - того, что с.в. попадет в указанный интервал или что не попадет? Уточните постановку задачи.

Ну и, наконец, по сути: ответ сразу же будет следовать из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (ну или в более общем виде - ЦПТ). Сформулируйте и напишите свои соображения, если непонятно.

[antbez]

Цитата:

Замечание по формулировке вопроса: стремиться к нулю должна все-таки вероятность. Только вероятность чего - того, что с.в. попадет в указанный интервал или что не попадет? Уточните постановку задачи.

Да, в условии было нечётко написано. Есть случайная величина, распределённая биномиально. При фиксированном $p$ и $n \to \infty$ эта с.в. попадает в некоторый интервал с нулевой вероятностью (то есть не попадает в него) при некоторых значениях параметра $a$. Найти эти значения.

Добавлено спустя 7 минут 31 секунду:

[PAV]

antbez в сообщении #177901 писал(а):

эта с.в. попадает в некоторый интервал с нулевой вероятностью

Если речь идет о том интервале, который написан в первом посте, то здесь написана бессмыслица. Да и вообще бессмыслица. Не имеет смысла выражение "нулевая вероятность при $n\to\infty$".

Добавлено спустя 1 минуту 11 секунд:

antbez писал(а):

По интегральной теореме Муавра-Лапласа биномиальный закон при неограниченном возрастании числа испытаний переходит в нормальный закон с $m=0, \sigma=1$. То есть $np=0$

Ничего подобного теорема не говорит. Здесь написана ерунда.

[antbez]

Да, не то написал! Условия сам не полностью понимаю!

[PAV]

antbez в сообщении #177908 писал(а):

Условия сам не полностью понимаю!

Вот в этом и заключается пока что основная проблема.

Обозначим символом $S_n(p)$ случайную величину, имеющую биномиальное распределение с параметрами $(n,p)$. Для фиксированных трех чисел $n$, $p$ и $a$ обозначим через $f(n,p,a)$ следующую вероятность

$$f(n,p,a)=P\left(\strut S_n(p)\in [np-0.01n^a,np+0.01n^a]\right)$$

Задача заключается в том, чтобы определить, при каких значениях $a$ эта величина ведет себя... как?

[--mS--]

antbez писал(а):

Да, в условии было нечётко написано. Есть случайная величина, распределённая биномиально. При фиксированном $p$ и $n \to \infty$ эта с.в. попадает в некоторый интервал с нулевой вероятностью (то есть не попадает в него) при некоторых значениях параметра $a$. Найти эти значения.

Это полное условие? Откуда тогда вообще взялся интервал $[np-0,01n^a,\,np+0,01n^a]$? Нельзя ли привести условие дословно?

[ewert]

Да вполне корректное условие (ну, может, не очень аккуратно записанное). Требуется найти возможные значения показателя, при которых вероятность стремится к нулю. И действительно, можно сослаться на Муавра с Лапласом, можно -- на ЦПТ, но у меня такое ощущение, что по идее эта задачка была на неравенство Чебышёва.

(хотя, конечно, это неравенство даёт ответ только в одну сторону, т.е. формально только гарантированный интервал показателей)

[antbez]

Цитата:

Задача заключается в том, чтобы определить, при каких значениях эта величина ведет себя... как?

Не стремилась к 0 при бесконечно возрастающем $n$, то есть не убывала.

Добавлено спустя 2 минуты 37 секунд:

--mS-- писал(а):

antbez писал(а):

Да, в условии было нечётко написано. Есть случайная величина, распределённая биномиально. При фиксированном $p$ и $n \to \infty$ эта с.в. попадает в некоторый интервал с нулевой вероятностью (то есть не попадает в него) при некоторых значениях параметра $a$. Найти эти значения.

Это полное условие? Откуда тогда вообще взялся интервал $[np-0,01n^a,\,np+0,01n^a]$? Нельзя ли привести условие дословно?

Этот интервал, конечно, есть в условии- куда же без него... Просто извините, что не переписал его второй раз!

Добавлено спустя 2 минуты 40 секунд:

Цитата:

хотя, конечно, это неравенство даёт ответ только в одну сторону, т.е. формально только гарантированный интервал показателей

Там интервал и нужен по идее

[ewert]

оно (неравенство) не доказывает, что при других показателях стремления к нулю не будет. Хотя это и правда.

[antbez]

А как можно получить этот интервал непосредественно из теоремы Чебышёва? Не очень понимаю...

[ewert]

Имелась в виду не теорема, а неравенство:

$$P(|X-m_X|\geqslant\varepsilon)\leqslant{D[X]\over\varepsilon^2}.$$

Матожидание и дисперсия для биномиального распределения известны...

(Я перепутал знак -- это неравенство даёт, наоборот, запрещённые показатели. Но сути дела это не меняет.)

[antbez]

А вероятность эту нужно расписать через функцию Лапласа?

[ewert]

В данной ситуации -- не нужно. Но для доказательства того, что годятся ровно $a<1/2$, формула Муавра-Лапласа -- проще всего.

[antbez]

Я считаю, что для теста такое задание сложновато...