Интеграл с логарифмом: ln(1-x)/x

[Полосин]

Тов. Sonic86!
В каком объеме вы знаете ТФКП?
Логарифм появляется при дифференцировании интеграла по параметру.
Верхний (нижний) берег действительной полуоси - это контур, выходящий из нуля и уходящий в бесконечность в направлении положительной полуоси, оставаясь выше (ниже) ее и неограниченно приближаясь к ней по мере стремления к бесконечности.
Формулу

$$\int_0^{+\infty}\frac{x^{p-1}}{x-1}dx=-\pi \ctg ({\pi p), 0<Re p<1$$

(интеграл, как обычно, понимается в смысле главного значения), можно доказать разными способами, например с помощью контурного интегрирования.
Соотношение

$$\int_{L_+}+\int_{L_-}=2\int_0^{+{\infty}}$$

непосредственно вытекает из формулы Сохоцкого-Племеля.
Литература:
Лаврентьев, Шабат. Методы ТФКП.
Волковыский, Лунц, Араманович. Сборник задач по ТФКП.
Мусхелишвили. Сингулярные интегральные уравнения.
Прудников, Брычков, Маричев. Интегралы и ряды (справочник).

[ewert]

Ну я вот в выкладки не вникал, но тоже иногда подзастреваю. К примеру:

Полосин писал(а):

$$-\int_0^1\frac{\ln ^2 x}{2(x-1)^2}dx= -\int_0^{+\infty}\frac{\ln ^2 x}{4(x-1)^2}dx$$

(и, кстати, предыдущий пункт -- тоже). Оно вроде и верно, как поразмыслишь, да ить поди надо всем поразмысли, а в совокупности -- запросто может ввести в ступор. А комментариев-то и не хватает.

[Sonic86]

Судя по этому решению я оч плохо (мягко говоря) знаю ТФКП. Семестровые решать могу.
Спасибо за литературу - потренируюсь.
Насчет берегов правильно значит понял. Интеграл мне незнаком.
А насчет логарифма совсем не понял. У вас же под интегралом $\frac{x^p+x^{-p}-2}{(x-1)^2}$. Если по р дифференцировать будет $\frac{p(p-1)x^{p-2}+p(p+1)x^{-p-2}}{(x-1)^2}$ и тогда $p \to +0$ логарифма не дает. Только если сразу $x^p+x^{-p}-2 = (x^{p/2}-1)(x^{-p/2}-1)$ и то будет $p^2/4 \ln ^2 x$.
Или диффернцировать я уже тоже разучился?

[Cave]

Sonic86
Вы по $x$ дифференцируете, а надо по $p$.
Рассмотрим функцию $x^p$, чему равна её производная? Ответ: смотря по какой переменной. Нам привычно, что $p$ - параметр, $x$ - переменная, поэтому в книгах пишут ответом просто $p x^{p-1}$. Однако в нашем случае приём так и называется: дифференцирование по параметру (в нашем случае интеграла), для этого ищется производная по параметру от подынтегрального выражения. От $x^p$ производная по $p$, как можно понять, равна $x^p \ln x$ (вспомните более привычную показательную функцию $a^t$, чему равна её производная по $t$ при фиксированном $a$?)

[Sonic86]

Ааааа, блин, вот я придурок

ewert! Товарищ интеграл по частям берет и сразу считает!

[ewert]

ну я не знаю, что тов. Полосин считает сразу, а что не сразу. Понятно, что тов. он грамотный, и ошибки вряд ли возможны. Понятно и то, что первый шаг сводится к интегрированию по частям, с учётом поведения функции вблизи концов интервала. Это всё понятно. Просто очень уж лихо.