Простая(?) задача про объемы и площади поверхности цилидров

[e2e4]

Здравствуйте!

В связи с более общей задачей, возникла следующая проблема, подход к которой мне не удается обнаружить:
Имеем первый цилиндр объемом $V_1$, радиусом основания $r_1$, высотой $H_1$. Имеется второй цилиндр, объем которого в k раз больше объема первого, т.е. $V_2 = kV_1$. Понятно, что изменить площадь цилиндра возможно тремя путями: изменяя только радиус основания, изменяя только высоту, либо изменяя оба этих параметра. В данном случае примем, что $r_2 = r_1 + \delta$, $H_2 = H_1 + \delta$, т.е. приращения радиуса основания и высоты цилиндра одинаковы.

Вопрос1: $\delta(k) = ?$;
Вопрос2: $\frac{S_2}{S_1} = ?$, где S - площадь полной поверхности цилиндра.

Формулы, чтобы не искать далеко:
$V = \pi r^2 H$,
$S = 2\pi rH + 2\pi r^2$.

То, до чего дошел я и собственно не знаю что делать дальше:
$V_1 = \pi r_1^2 H_1$;
$V_2 = \pi r_2^2 H_2 = kV_1 = k\pi r_1^2 H_1$;
$(r_1+\delta)^2(H_1+\delta) = kr_1^2H_1$;
С одной стороны, если решать последнее уравнение относительно дельты, после раскрытия скобок получается многочлен третьей степени, вот он:
$\delta^3 + (H_1+2r_1)\delta^2 + (2r_1H_1 + r_1^2)\delta + r_1^2H_1(1-k) = 0$
находить зависимость делты от k по общим формулам корней многочлена 3-й степени что-то нехочется, да и вряд ли это правильный путь. С другой стороны, интуиция подсказывает, что r и H должны бы сократиться, т.к. дельта все-таки вроде-бы зависит только от k?

И еще. Зная $\delta(k)$, мы подставим ее в формулу площади поверхности, и в конце концов должны получить $\frac{S_2}{S_1} = f(k)$, но, боюсь, тут встанет та же проблема - сложность с сокращением r и H...

В общем, такие вот вопросы для этой, казалось бы элементарной, задачи...
Спасибо!

[juna]

Полностью освободиться о куба не удастся.
$H+\delta=bH$
$r+\delta=ar$
$k=a^2b$
Получилось три уравнения с тремя неизвестными.
Если не ошибся, то после преобразований имеем
$ra^3+a^2(H-r)-kH=0$
От $a^2$ можно освободиться введя $a=x-{\frac {(H-r)} {3}}$

[juna]

Ошибся я тут. Прежде чем освободиться от квадрата надо разделить обе части уравнения на r. Вчера тех. сложности с интернетом были, вот и не исправил.

[e2e4]

Перейдя к переменным a и b, решая систему трех уравнений с тремя неизвестными, действительно приходим к приведенному выше уравнению. Разделив его на r и вводя замену $a=x- \frac{H-r} {3r}$, в конце концов придем к уравнению, если я ничего не напутал:
$x^3 - x \frac{(H-r)^2} {3r^2} + \frac {2(H-r)^3} {27r^3} -k \frac{H} {r}$ = 0

но что дальше-то делать?

[juna]

Правильно, ведь от куба не избавиться. Я лишь показал как упростить, чтобы в формулу поменьше букв ставить. Данные формулы хороши и для анализа Вашего предположения, что $\delta$ зависит только от k. Пусть $k=8={2^2}2$, т.е. пусть a=2, b=2, тогда $\delta=H=r$

[e2e4]

Уважаемый Артамонов Ю.Н., действительно, при увеличении объема цилиндра в k = 8 раз, можно сказать, что:
$V_2 = \pi r_2^2 H_2 = 8V_1 = 8 \pi r_1^2 H_1$, т.е.
$(ar_1)^2 bH_1 = 8r_1^2 H_1$,
$a^2 b r_1^2H_1 = 8r_1^2H_1$,
$a^2b = 8$, т.е. $a^2b = k$.
предположив a = b = 2, мы действительно получим равенство $r = H = \delta$, но это только частный случай. В общем случае, r не равно H, соответственно a не равно b.

Используя известные подстановки в общее уравнение многочлена третьей степени, можно избавиться либо от x^2, либо от x. Если не ошибаюсь, именно эти подстановки и лежат в основе общей формулы корней многочлена третьей степени. Но, к сожалению, я не вижу пути к нахождению зависимости $\delta (k)$ и, что более важно, $\frac {S_2} {S_1} = f(k)$.

Дело в том, что для таких фигур как шар и куб, при соотношении $V_2 = kV_1$ и трансформации путем изменения соответствующего образующего элемента (длины стороны куба, либо радиуса шара), легко показать, что $\frac {S_2} {S_1} = k^\frac{2}{3}$. Мне стало интересно - а справедливо ли это соотношение для других, несимметричных фигур (думаю, что нет). И, конечно, хотелось бы найти аналитическую зависимость.

[juna]

Пример приведен для того, чтобы показать, что дельта зависит от r, H. Если Вам хочется получить точную формулу – нужно по-честному решать кубическое уравнение (одно действительное значение всегда есть). Пропорциональное изменение объема приводит к пропорциональному изменению площади поверхности для фигур, объем и площадь поверхности которых выражаются через один параметр – куб, шар, тетраэдр и т.д. В Вашем случае это случится, когда H=r.

[незваный гость]

e2e4 писал(а):

находить зависимость делты от k по общим формулам корней многочлена 3-й степени что-то нехочется, да и вряд ли это правильный путь. С другой стороны, интуиция подсказывает, что r и H должны бы сократиться, т.к. дельта все-таки вроде-бы зависит только от k?

Эта пилюля горька, но ... ничего другого, кроме как искать корни многочлена -- нет. Вы выбрали способ, при котором приращение радиуса и высоты равны. Это (при $r_1 \neq H_1$) означает, что исходный и второй цилиндр не подобны, и $\delta$ зависит от соотношения $r_1/H_1$.

Если бы Вы искали в виде $H = \xi H_1$, $r = \xi r_1$, то Вы бы имели ожидаемые Вами результаты.

[e2e4]

Все, теперь я понял в чем моя ошибка. Как правильно сказали Артамонов Ю.Н. и незванный гость, выбрав одинаковые приращения двух неравных параметров, определяющих фигуру, я получаю не подобные фигуры. Для того, чтобы они были подобны (что в общем-то и требуется), надо брать не приращения, а одинаковые множители, например $H_2 = \xi H_1$, $r_2 = \xi r_1$. Тогда получим:
$V_2 = \pi r_2^2 H_2 = \pi \xi^2 r_1^2 \xi H_1 = kV_1 = k \pi r_1^2 H_1$, отсюда
$\xi = k^ \frac{1} {3}$, тогда
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{2\pi r_2(H_2+r_2)}{2\pi r_1(H_1+r_1)} = \frac{\xi r_1(\xi H_1 + \xi r_1)}{r_1(H_1+r_1)} = \xi ^2 = k^ \frac{2} {3}$

Что совпадает с результатом, полученным для шара и куба

Спасибо!

А можно ли сказать, что для любого геометрического трехмерного тела справедливо, что при изменении его трансформацией подобия таким образом, чтобы объем отличался в k раз, площадь поверхности будет отличаться в $ k^ \frac{2} {3}$ раз?

[juna]

Я бы не стал делать здесь обобщающих утверждений. Ведь существуют геометрические тела для которых, увеличение объема может приводит и к уменьшению площади поверхности, или изменение площади поверхности никак не скажется на изменении объема и т.д.

[Someone]

e2e4 писал(а):

А можно ли сказать, что для любого геометрического трехмерного тела справедливо, что при изменении его трансформацией подобия таким образом, чтобы объем отличался в $k$ раз, площадь поверхности будет отличаться в $k^{\frac{2}{3}}$ раз?

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Я бы не стал делать здесь обобщающих утверждений. Ведь существуют геометрические тела для которых, увеличение объема может приводит и к уменьшению площади поверхности, или изменение площади поверхности никак не скажется на изменении объема и т.д.

Для подобных фигур???

[photon]

e2e4 писал(а):

А можно ли сказать, что для любого геометрического трехмерного тела справедливо, что при изменении его трансформацией подобия таким образом, чтобы объем отличался в k раз, площадь поверхности будет отличаться в $ k^ \frac{2} {3}$ раз?

Мысли вслух: а что там будет для фрактальных поверхностей?...

[Руст]

Если под трансформацией понимантся аффинное преобразование то да (неважно какое тело). Если речь идёт о фрактале то и степень надо брать фрактальную, обычная площадь или равна нулю или бесконечности (соответственно подобие для обычной площади имеет место).

[juna]

Мои уважаемые цензоры правы. А мне затмили голову не фрактальные структуры типа внутреннего объема губки Менгера, а топологический выкрутас: помещаем сферу внутрь другой, заполняем пространство между ними, сверлим дырку до внутренней сферы и начинаем сжимать внутреннюю сферу – объем увеличивается, площадь поверхности уменьшается и т.д. Но как правильно заметил Someone, такое преобразование нельзя назвать подобным.
Если каждый линейный элемент изменяется в $\xi$ раз, то при вычислении площади поверхности ${\xi}^2$ выносится за знак интеграла и отношение $\frac {S_1}{S_2}={\xi}^2$. Аналогично при вычислении объема ${\xi}^3$ выносится за знак интеграла и отношение объемов $\frac {V1}{V2}=k={\xi}^3$ ч.т.д.

[photon]

Я не математик - топологию не учил, скажите, а можно ли вообще говорить об объеме тел вроде бутылки Клейна, и можно ли это вообще телом называть?