Условное математическое ожидание

[Сергей МФТИ]

$\xi_1$, $\xi_2$, $\dots$ ,$\xi_n$ независимые случайные величины,$S_n$= $\xi_1$ +$\xi_2$+ $\dots$ +$\xi_n$ Подскажите пжл. как использовать независимость величин $\xi_i$ для доказательства равенства $E(S_n\bigm|S_n,S_{n+1} \dots)=S_n$

[Хорхе]

Ну вообще-то независимость тут ни при чем.
Если $\xi$ --- $\mathcal F$-измерима, то $E[\xi\mid\mathcal F] = \xi$.

[Сергей МФТИ]

Да но ведь там в условном ожидании стоит еще $S_{n+1}, S_{n+2}$

[--mS--]

От этого сигма-алгебра только богаче станет.

[Сергей МФТИ]

Ну так это не математическое обьяснение, вопрос в том, почему мы можем откинуть все эти $S{n+1}$ и так далее

[--mS--]

Это именно математическое объяснение: $\sigma(S_n)\subseteq \sigma(S_n, S_{n+1}, \ldots)$, поэтому измеримость $S_n$ относительно первой влечёт измеримость её относительно второй.

[Хорхе]

Сергей МФТИ писал(а):

Ну так это не математическое обьяснение, вопрос в том, почему мы можем откинуть все эти $S(n+1)$ и так далее

Вы правы, это не математическое обьяснение. Это математическое объяснение. А еще лучше сказать "обоснование".

[Сергей МФТИ]

Ну тогда получаеться так что три автора вписали в условие задачи, ненужное условие независимости, ибо решая задачу я использовал только равенсто , и то что ,$E(S_n\Bigm|S_n,S_(n+1)$$\dots)=S_n$ и то что

$$E(\xi_1\Bigm|S_n,S_{n+1}\dots)+E(\xi_2\Bigm|S_n,S_{n+1}\dots)+\dots+E(\xi_n\Bigm|S_n,S_{n+1}\dots)=n*E(\xi_i\Bigm|S_n,S_{n+1}\dots)$$

конечно есть еще условие однаково распределены что и спользовалось

[--mS--]

А каким образом из этого равенства:

Сергей МФТИ писал(а):

$$ E(\xi_1\Bigm|S_n,S_{n+1}\dots)+E(\xi_2\Bigm|S_n,S_{n+1}\dots)+\dots+E(\xi_n\Bigm|S_n,S_{n+1}\dots)=n*E(\xi_i\Bigm|S_n,S_{n+1}\dots) $$

получилось вот это: $E(S_n\Bigm|S_n,S_{n+1}\dots)=S_n$?

Кстати, первое равенство без независимости неверно. А второе - верно.

[Сергей МФТИ]

как вышло? просумировав все эти сумы получим с одной стороны $nE(\xi_i\Bigm|S_n,S_{n+1}$ а с другой стороны сумма интегралов равна интегралу суммы тоесть $E(S_n\Bigm|S_n,S_{n+1}))$

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

--mS-- в сообщении #172287 писал(а):

Кстати, первое равенство без независимости неверно. А второе - верно.

Действительно? и где мы во втором равенстве не можем обойтись без независимости? вроде бы там надо использовать только то что они однаково распределенны

Добавлено спустя 2 минуты 39 секунд:

немного запутались я говорю о своем первом и втором равенствах а Вы наверное имелли ввиду совй ответ с цитатой, во избежания недорозумений просьба писать какое точно равенство обсуждаеться, спасибо)

[Jnrty]

Jnrty:

Сергей МФТИ, Вас не беспокоит, что нижние индексы у Вас написаны очень странно: $S_(n+1)$ вместо $S_{n+1}$? Всего-навсего нужно было вместо круглых скобок написать фигурные:

$S_{n+1}$

Фигурные скобки служат для группировки символов, а если они сами нужны в формуле, то их записывают как \{ и \}.

Кроме того, очень неприятно выглядит длинная формула, автоматически разбитая на части. Эту проблему можно решить двумя способами:
1) разбить её на несколько частей или
2) написать вокруг неё двойные знаки доллара.
В обоих случаях целесообразно вынести её в отдельную строку. В любом случае крайне желательно, чтобы формула помещалась на экране.

Исправьте, пожалуйста.

[--mS--]

Сергей МФТИ писал(а):

как вышло? просумировав все эти сумы получим с одной стороны $nE(\xi_i\Bigm|S_n,S_{n+1})$ а с другой стороны сумма интегралов равна интегралу суммы тоесть $E(S_n\Bigm|S_n,S_{n+1})$

Ну и получили тождество $\mathsf E(S_n \bigm| S_n, S_{n+1}, \ldots) = \mathsf E(S_n \bigm| S_n, S_{n+1}, \ldots)$. А где требуемый факт?

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

Сергей МФТИ писал(а):

--mS-- в сообщении #172287 писал(а):

Кстати, первое равенство без независимости неверно. А второе - верно.

Действительно? и где мы во втором равенстве не можем обойтись без независимости? вроде бы там надо использовать только то что они однаково распределенны

Существуют одинаково распределённые (разумеется, зависимые) случайные величины $\xi$ и $\eta$, для которых $\mathsf E(\xi \bigm| \xi+\eta) \neq \mathsf E(\eta \bigm| \xi+\eta)$. Пример можете попробовать построить.

[Хорхе]

--mS-- писал(а):

...
для которых $\mathsf E(\xi \bigm| \xi+\eta) \neq \mathsf E(\xi \bigm| \xi+\eta)$. Пример можете попробовать построить.

[--mS--]

Копи-паст проблемс

[Сергей МФТИ]

Ну и получили тождество $\mathsf E(S_n \bigm| S_n, S_{n+1}, \ldots) = \mathsf E(S_n \bigm| S_n, S_{n+1}, \ldots)$. А где требуемый факт?


ну так факт тот что с одной стороні мы получаем $S_n$ а с другой стороны

$$n*E(\xi_i\bigm| S_n, S_{n+1}, \ldots))$$

ну собственно мы ищем

$$E(\xi_i\bigm| S_n, S_{n+1}, \ldots))$$

Добавлено спустя 1 минуту 27 секунд:

Интересно увидеть пример таких величин? при чем здесь тогда независимость???????