Почему градиент показывает направление наискорейшего возраст

[nestoklon]

Где-то так
$T_{\vect{a}}:\;f(x,y,z) \longrightarrow f(x-a_x,y-a_y,z-a_z)$

[ewert]

Градиент стандартно определяется как вектор, координаты которого суть частные производные скалярной функции. Это -- с одной стороны.

С другой -- выясняется, что производная по направлению есть скалярное произведение градиента на орт, задающий это направление.

С третьей -- определение производной по направлению изначально геометрически инвариантно. Тем самым инвариантом оказывается и сам градиент.

А тогда инвариантом будет и дифференциальный оператор "набла", формально задающий градиент. С вытекающими отсюда последствиями: дивергенция и ротор тоже будут инвариантами.

(ну, разумеется, только относительно ортогональных преобразований, а ротор -- так и вообще только относительно поворотов)

[undeddy]

Спасибо за ответы .

[Brukvalub]

Если вы знаете определение градиента и правила диф-ния сложной функции, то запросто сами ответите на свой вопрос.

[undeddy]

Такой вопрос: представление производной по направлению l в виде (grad(f), l) возможно, если вектор l - единичный, а если нет, то в этой формуле его нужно нормировать?

[Brukvalub]

Да.

[nestoklon]

Brukvalub в сообщении #171203 писал(а):

Если вы знаете определение градиента и правила диф-ния сложной функции

Это вы мне?
Если да, то напишите пожалуйста закон преобразования "вектора" градиента при таком сдвиге.
Я умею написать в таком случае только преобразование векторного поля...

[Brukvalub]

nestoklon в сообщении #171276 писал(а):

Я умею написать в таком случае только преобразование векторного поля...

Зато я знаю, где за такие умения выдают медали.