Помогите найти предел (непосредственно без Лопиталя)

[Ilnur]

Помогите пожалуйста решить предел
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x-\sin{x}}{x^3}$,
не используя правило Лопиталя.

[photon]

А если разложить $sin(x)$ в ряд?

[Ilnur]

Для этого же нужно знать производные. А если производные еще не пройдены…?!
Зная производные, можно решить и по правилу Лопиталя.

[Genrih]

Зная производные можно разложить в ряд Тейлора (не зная Лопиталя), несмотря на то, что в некоторых учебниках формула Тейлора идет после теорем Лопиталя

[Ilnur]

Вы не совсем меня поняли. Можно ли вычислить данный предел, вообще не зная производные и разложения функций?

[x0rr]

а ответ какой?
1/6?

[nies]

ага

[zkutch]

Пусть ваш предел существует и обозначим его через, допустим, y.
Примените к синусу в числителе формулу синуса связывающую его с синусом в кубе и синусом тройного угла. Разбейте полученный предел на сумму двух пределов, в одном оставляя синус в кубе. Во втором заменяя переменную получите опять выражение включающее y. Решая уравнение относительно y, получите ответ 1/6.

Если не будет лень, сообщите пожалуйста и тот вариант ответа который будет у человека, давшего этот пример.

[Genrih]

Можно проделать обманный трюк - имитировать правило Лопиталя :
Имея предел $ \lim \limits_{x \to x_0} \frac {f(x)}{g(x)}$, рассмотреть предел частного их разностных отношений$\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} }{\frac{g(x+ \Delta x)- g(x)}{\Delta x}}$, положив после х=х_0 (надо лишь добиться равенства обоих выражений, стоящих под знаком предела)

[zkutch]

С одной стороны не слышу аплодисментов за решение без производной, а с другой стороны для записи формул применил следующий метод: в ворде в мат-типе набрал формулу и в трансляторе выставил тех. Затем просто копировал и приставил матем. таги. Т.е. можно не зная теха набирать формулу и вставлять в форум.
Если ни за одно, ни за другое спасиба не дождусь, все равно не страшно.

$\begin{array}{l} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - \sin x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - {\textstyle{1 \over 3}}\sin 3x - {\textstyle{4 \over 3}}\sin ^3 x}}{{x^3 }} = \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x - \sin 3x}}{{{\textstyle{1 \over 9}}\left( {3x} \right)^3 }} - \frac{4}{3}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ^3 x}}{{x^3 }} = 9\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{t - \sin t}}{{t^3 }} - \frac{4}{3} = \\ = 9y - \frac{4}{3} = y \Rightarrow y = \frac{1}{6} \\ \end{array}$

[shwedka]

Красиво, правда,
Только как вы объясните человеку из пещеры, что предел существует, а без этого что Вы будете через y обозначать???

[Genrih]

shwedka писал(а):

Красиво, правда,
Только как вы объясните человеку из пещеры, что предел существует, а без этого что Вы будете через y обозначать???

Если бы предела не было, в итоге пришли бы к равенству типа $y=y$ (или к чему-нибудь другому),в любом случае - к результату, которое не несет никакой информации .

zkutch писал(а):

С одной стороны не слышу аплодисментов за решение без производной

От меня пойдут аплодисменты ?
Как насчет $\lim \limits_{x \to 0} \frac {x- \frac {x^3}{3!} - \sin {x}}{x^5}$ без производной ? (список можно продолжить бесконечно)

[lofar]

Похоже, вопрос упирается в определение функции $\rm sin$.

В большинстве учебников доказательство даже более простого равенства $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ производится не совсем корректно. Дело в том, что приводимые там рассуждения апеллирует к геометрической интуиции и, самое главное, к неопределенному (на тот момент) понятию длины дуги.

Строгим образом, функцию $\rm sin$ можно определять как сумму ряда $\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$, или как функцию обратную к интегралу $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$, или как решение задачи Коши $f''(x) = -f(x),\;f(0) = 0,\; f'(0) = 1$.

[shwedka]

Genrih писал(а):

Если бы предела не было, в итоге пришли бы к равенству типа $y=y$ (или к чему-нибудь другому),в любом случае - к результату, которое не несет никакой информации .

В том-то и дело. Задачи о вычислении предела , молчаливо или нет, включают в себя доказательство того, что предел существует.
Поэтому речь не идет о равенстве типа $y=y$ . Самого $y$ у нас нет, пока существования предела не доказано! Простейший пример.
Я ищу предел последовательности
$x_n=2^n$. Обозначим через $y$ этот предел. Из исходного равенства следует, что $2x_n=2^{n+1}$ так что $y=2y$, решаем уравнение, получаем y=0,
УРЯЯЯЯЯ!!!
Здесь мы пришли к идиотскому ответу. Почему же мы уверены в правильности ответа с синусами, применяя тот же метод??

[photon]

zkutch писал(а):

в ворде в мат-типе набрал формулу и в трансляторе выставил тех. Затем просто копировал и приставил матем. таги. Т.е. можно не зная теха набирать формулу и вставлять в форум.
Если ни за одно, ни за другое спасиба не дождусь, все равно не страшно.

$\begin{array}{l} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - \sin x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - {\textstyle{1 \over 3}}\sin 3x - {\textstyle{4 \over 3}}\sin ^3 x}}{{x^3 }} = \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x - \sin 3x}}{{{\textstyle{1 \over 9}}\left( {3x} \right)^3 }} - \frac{4}{3}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ^3 x}}{{x^3 }} = 9\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{t - \sin t}}{{t^3 }} - \frac{4}{3} = \\ = 9y - \frac{4}{3} = y \Rightarrow y = \frac{1}{6} \\ \end{array}$

Спасибо за это - супер, только можно лучше: у Вас получился громадный код - туда включено много хлама в качестве комментария, и его можно либо удалить вручную, либо в MathType в Preferences->Translators убрать галочку с "Include MathType data in translation", тогда код вообще чистенький. Для коротких формул - быстрее вручную набить, а для сложных - действительно ведь удобно