Помогите найти предел (непосредственно без Лопиталя)

[Ilnur]

Спасибо всем, особенно zkutch !
Ответ данного предела действительно 1/6.

[zkutch]

дорогие друзья, я тронут вашим вниманием (особенно женским, к сожалению, виртуальным)

shwedka писал(а):

УРЯЯЯЯЯ!!!
... Почему же мы уверены в правильности ответа с синусами

потому как функция $\frac{{x - \sin x}}{{x^3 }}$ четная, рассмотрим ее только справа от нуля, где легче доказать, что она монотонна, ограничена и значит предел существовать будет. Не обессудьте, но в доказательстве я применю и замечательный предел и его монотонность в правой окрестности нуля и то что $\sin x \le x$ опять же в правой окрестности и все тому подобное.

Естественно, как пишет lofar, тут все сведется к определению синуса. Можно предложить, вдобавок к перечисленному lofar-ом еще аксиоматическое введение синуса и косинуса через определяющие уравнения. Для корректности, наверное, лучше так и делать. Но тут надо передаказывать все известное в тригонометрии заново.

Genrih - щас просто нет времени, все кругом-бегом, но вызов есть вызов и думаю можно попытаться ответить через формулу для синуса от кратного угла.

photon - я видел в коде весь мусор, но, во-первых лень матушка, а во-вторых я чувствовал, что бог пошлет человека, который разберется со всем этим. И вот ОН послал вас. В самом деле коды получаются очень простые и приятные. Так что можно объявлять метод photon-zkutch запатентованным. Главное теперь, чтобы модераторы оценили и прослезились. Тут-то я их о чем-то попрошу.

И очень благодарю всех .

[Genrih]

shwedka писал(а):

Простейший пример.
Я ищу предел последовательности
$x_n=2^n$. Обозначим через $y$ этот предел. Из исходного равенства следует, что $2x_n=2^{n+1}$ так что $y=2y$, решаем уравнение, получаем y=0,

Так зачем же все-таки умножать на двойку ( в бою наоборот хочется все упростить)? Понимаю, чтО Вы мне хотите сказать. И я конечно не применял бы граничный переход для $x_n=2^n$. Обычно я поступаю именно так, перехожу к граничному переходу - если получается, то потом доказываю сходимость; если нет - опять пытаюсь, но что-то другое.
Хотелось бы увидеть менее тривиальную последовательность (опять же расходящуюся), которая приведет к такой же проблеме, причем $y \neq 0$ ( чисто риторическая заметка).

zkutch писал(а):

Genrih - щас просто нет времени, все кругом-бегом, но вызов есть вызов и думаю можно попытаться ответить через формулу для синуса от кратного угла.

Да ну что Вы? Не принимайте ето так серьезно. Я вот думал, как обойтись без производной (правда вот зачем ограничиваться? ). Вот бросилась в глаза та заветная формула для синуса кратного угла $\sin {nx} = n \cos^{n-1}{x} \sin{x} - C_n^3 \cos^{n-3}x \sin^3x+C_n^5 \cos^{n-5}x \sin^5 x - ...$, которая помогла. Существование: функция опять же четная и т.д. - рассуждения аналогичные.

[shwedka]

Genrih

Цитата:

Хотелось бы увидеть менее тривиальную последовательность (опять же расходящуюся)

За бесплатно.
$x_n=2^n-1; \; x_{n+1}=2 x_n+1; \; y=\lim x_n; y=2y+1; y=-1$

Когда меня жестокая судьба заставляет пределы считать, то я все же начинаю с того, чтобы существование обосновать. Монотонность, конечно, могучий инструмент.
Но, конечно, дядя, заставляющий Ilnur считать такой предел без Лопиталя, производных, Тейлора, садист. Я не удивлюсь, если
Ilnur и монотонности тоже не учили. Если так, я бы предложила ей на разборе задачи прицепиться к преподу с существованием.

[Yuri Gendelman]

shwedka писал(а):

За бесплатно.
$x_n=2^n-1; \; x_{n+1}=2 x_n-1; \; y=\lim x_n; y=2y-1; y=1$
Дядя, заставляющий Ilnur считать такой предел без Лопиталя, производных, Тейлора, садист.

Пример замечательный, да еще и бесплатный. Предлагаю только чуть-чуть подправить: $x_n = 2^n + 1$
А что касается плохих дядей, то задача в такой постановке вполне подойдет для средней школы.

[Someone]

Yuri Gendelman писал(а):

А что касается плохих дядей, то задача в такой постановке вполне подойдет для средней школы.

Либо издеваетесь, либо давно не имеете понятия, что происходит в средней школе.

[Yuri Gendelman]

Someone писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

А что касается плохих дядей, то задача в такой постановке вполне подойдет для средней школы.

Либо издеваетесь, либо давно не имеете понятия, что происходит в средней школе.

Я что-то не помню, чтобы программа школы так уж сильно менялась. Хотя могу ошибаться, Вам виднее. А в средней школе, что в деревне Гадюкино, такие задачи не решали _никогда_. Так что новые времена тут ни при чем.

[Ilnur]

Хочу сказать, что и производные, и правило Лопиталя, и ряды и тем более монотонность я знаю. Просто самому интересно стало, можно ли данный предел вычислить непосредственно, используя только свойства пределов. Сам вычислить не смог, поэтому обратился к Вам.