урна с шарами, построить распределение гипотез о составе

[retik]

Нужна помощь:
Урна cодержит Н шаров. Вcе прeдпoлoжения о числе бeлых шаров в урне рaвнoвoзмoжны. Нa удачу выбрaнный из урны шaр oкaзaлся бeлым. Вычиcлить вероятность вceх предположений о составе шаров в yрнe. Какое прeдпoлoжeниe наиболее вeроятно?

Цитата:

Вcе прeдпoлoжения о числе бeлых шаров в урне рaвнoвoзмoжны

т.е. из n шаров каждый может быть как белым, там и не белым.
Есть вариант: С_n^{n-1} Но не уверен..

[--mS--]

retik писал(а):

Цитата:

Вcе прeдпoлoжения о числе бeлых шаров в урне рaвнoвoзмoжны

т.е. из n шаров каждый может быть как белым, там и не белым.

Неверное "то есть". Если каждый из $n$ шаров может быть "как белым, так и не белым" с равной вероятностью $p$ и независимо от других, то ни одного белого шара не будет с вероятностью $(1-p)^n$, один будет с вероятностью $np(1-p)^{n-1}$, два - с вероятностью $\frac{n(n-1)}{2}p^2(1-p)^{n-2}$ и т.д. Это разные вероятности. А предполагается, что у всех этих событий вероятности одинаковы.

Формулу Байеса знаете? Используйте.

[AndreyXYZ]

Выборка имеет размер $n=1$. Вытащено $r=1$ белых шаров. Несмещенная и состоятельна оценка $p$:

$$\widehat{p}=\frac{r}{n}=\frac{1}{1}=1$$

Оссюда наиболее вероятное число белых шаров

$$n\mathsf{E}p=n\widehat{p}=n \cdot 1=n$$

.

[Хорхе]

Некоторые каменты жгут. Только, уж простите за откровенность, совсем ни к месту.

Тут по формуле Байеса получается, что

$$P(k \text{ белых шаров}|\text{вытянули белый}) = \frac{2k}{n(n+1)}.$$

Кстати, никогда не пишите, что вероятность равна некоему биномиальному коэффициенту. [s]Хороший[/s] Строгий, но справедливый преподаватель за это студента с экзамена выгоняет сразу.

[ewert]

Предлагаю совсем другую задачку на эту же тему, гораздо более содержательную.

В ящике $n$ шаров, и все составы равновероятны (не количества, а именно составы, т.е. каждый шар независимо от остальных с равной вероятностью может оказаться белым или чёрным). Вытащили (ну допустим) три шара, и все они оказались белыми. Сколько белых шаров, скорее всего, там было изначально?

Задачка простая, конечно, но вот ответ не вполне укладывается в интуицию.

[--mS--]

Самое вероятное - около $\dfrac{n+3}{2}=3+\dfrac{n-3}{2}$.

[ewert]

ну да. А казалось бы, если все вытащенные -- белые, то наиболее вероятная доля белых должна бы сместиться гораздо сильнее.

[AndreyXYZ]

Хорхе в сообщении #170066 писал(а):

Тут по формуле Байеса получается, что

$$P(k \text{ белых шаров}|\text{вытянули белый}) = \frac{2k}{n(n+1)}.$$

Формула Байеса:

$$\mathsf{P}(A|B)=\frac{\mathsf{P}(AB)}{\mathsf{P}(B)}$$

Поясните, чему равны $\mathsf{P}(AB)$ и $\mathsf{P}(B)$

У меня такое решение:

$$\mathsf{P}(k \text{ белых шаров}|\text{вытянули белый}) =\mathsf{P}(k-1 \text{ белый шар в урне с } n-1 \text{ шаром})={{n-1} \choose {k-1}}(1/2)^{k-1}(1/2)^{n-1-(k-1)}=\frac{{{n-1} \choose {k-1}}}{2^{n-1}}$$

[Архипов]

ewert в сообщении #170097 писал(а):

В ящике n шаров, и все составы равновероятны (не количества, а именно составы, т.е. каждый шар независимо от остальных с равной вероятностью может оказаться белым или чёрным). Вытащили (ну допустим) три шара, и все они оказались белыми. Сколько белых шаров, скорее всего, там было изначально?

Ответ: "Скорее всего от 3 до n". Любое допустимое число имеет вероятность $p=1/(n-3)$. Формула ответа $X=(3+n)/2$ противоречит условию (любые предположения имеют равное право).

[ewert]

Архипов писал(а):

ewert в сообщении #170097 писал(а):

В ящике n шаров, и все составы равновероятны (не количества, а именно составы, т.е. каждый шар независимо от остальных с равной вероятностью может оказаться белым или чёрным). Вытащили (ну допустим) три шара, и все они оказались белыми. Сколько белых шаров, скорее всего, там было изначально?

Ответ: "Скорее всего от 3 до n". Любое допустимое число имеет вероятность $p=1/(n-3)$. Формула ответа $X=(3+n)/2$ противоречит условию (любые предположения имеют равное право).

Здесь две ошибки.

Во-первых, равное "право" имели именно состояния, Вы же приписали "равноправия" количествам.

Во-вторых (и это -- главный криминал): Вы пытались описать априорные вероятности состояний, требовались же апостериорные, т.е. переоценённые с учётом дополнительной информации, полученной по результатам опыта.

[Архипов]

Архипов в сообщении #170218 писал(а):

Здесь две ошибки.
Во-первых, равное "право" имели именно состояния, Вы же приписали "равноправия" количествам.
Во-вторых (и это -- главный криминал): Вы пытались описать априорные вероятности состояний, требовались же апостериорные, т.е. переоценённые с учётом дополнительной информации, полученной по результатам опыта.

Вероятности описаны в условии (априорные), я ничего не описывал. Зачем маскировать количества словами "состояния", "составы"? В условии Вы описали равномерно распределеную вероятность количества белых шаров ( соответственно - и черных)? Или Вы подразумевали биноминальное распределение (подобие орлов-решек)? Тогда опишите процедуру случайного процесса: каким способом клали в ящик белые и черные шары?
О математическом ожидании речи в задаче нет.

[--mS--]

Архипов писал(а):

Или Вы подразумевали биноминальное распределение (подобие орлов-решек)? Тогда опишите процедуру случайного процесса: каким способом клали в ящик белые и черные шары?

А зачем это описывать? Только потому, что Вы не понимаете условия? Так это не ново. Априорные вероятности ewert задал словами: "каждый шар независимо от остальных с равной вероятностью может оказаться белым или чёрным". Эти слова определяют их единственным образом.

Ну если уж так хочется, пожалуйста: $n$ раз подбрасывали правильную монету. После каждого броска в изначально пустую урну клали шар: белый, если выпала решка, и чёрный, если герб. Теперь процедура понятна?

[Архипов]

--mS-- в сообщении #170553 писал(а):

Ну если уж так хочется, пожалуйста: раз подбрасывали правильную монету. После каждого броска в изначально пустую урну клали шар: белый, если выпала решка, и чёрный, если герб. Теперь процедура понятна?

Вот такое условие понятно.

[Хорхе]

AndreyXYZ писал(а):

Формула Байеса:

$$\mathsf{P}(A|B)=\frac{\mathsf{P}(AB)}{\mathsf{P}(B)}$$

Поясните, чему равны $\mathsf{P}(AB)$ и $\mathsf{P}(B)$

Чувствую я, что это не формула Байеса, а определение условной вероятности (хотя ф.Б. не очень отличается от определения). Напишите формулу Байеса для такой п.г.п.:

$$ H_k = \{\text{в урне $k$ белых шаров}\},\ k=0,1,\dots,n. $$

Ваше решение неправильное. Во втором равенстве есть некая логика (впрочем, совсем не учитывающая условие), а вот в первом никакой логики нет.

[AndreyXYZ]

AndreyXYZ в сообщении #170195 писал(а):

$$\mathsf{P}(k \text{ белых шаров}|\text{вытянули белый}) =\mathsf{P}(k-1 \text{ белый шар в урне с } n-1 \text{ шаром})={{n-1} \choose {k-1}}(1/2)^{k-1}(1/2)^{n-1-(k-1)}=\frac{{{n-1} \choose {k-1}}}{2^{n-1}}$$

Хорхе в сообщении #170571 писал(а):

Ваше решение неправильное. Во втором равенстве есть некая логика (впрочем, совсем не учитывающая условие), а вот в первом никакой логики нет.

Говорите, в первом логики нет? Когда мы вытащили один шар, то мы все равно ничего не можем сказать о распределении оставшися шаров, т.к. по условию они распределены с вероятностью $1/2$. Даже если бы мы вытащили

$$n-1$$

белый шар, то вероятность, что последний шар белый, также была бы равна $1/2$.
И моё решение даёт следующее наиболее вероятное $k$:

$$k=\frac{n-1}{2}+1=\frac{n+1}{2}$$

--- вполне осмысленный результат.

Но Ваше решение:

Хорхе в сообщении #170066 писал(а):

$$P(k \text{ белых шаров}|\text{вытянули белый}) = \frac{2k}{n(n+1)}.$$

даёт максимальную вероятность

$$\max_{1 \le k \le n}\frac{2k}{n(n+1)}$$

при

$$k=n$$