Функция Мебиуса

[AndreyXYZ]

Рассмотрим частично упорядоченное множество $P_{\le}$, где

$$P=\{x: x - \text{измельчение $n$-множества}\}$$

, $\pi' \le \pi \Leftrightarrow \pi' \text{ - измельчение } \pi$
Доказать, что $\mu(\overline{0},\overline{1})=(-1)^{n-1}(n-1)!$
Пример. $n=4$
$\mu(1-2-3-4,1234)=-6$

Я попытался применить обращение Мебиуса.
Пусть $f(\pi)=k$, где $k$ - число блоков в разбиении $\pi$.
Пусть

$$g(\pi')=\sum_{\pi: \pi' \le \pi}{f(\pi)$$

Тогда

$$f(\overline{0})=\sum_{\pi:\overline{0} \le \pi}{\mu(\overline{0},\pi)g(\pi)$$

Также можно получить, что

$$g(\overline{0})=\sum_{k=0}^{n}{k{\{{n \atop k}\}}}$$

Как продолжить рассуждения я не знаю.

[maxal]

см. стр. 190-192 в
Стенли Р. — Перечислительная комбинаторика