одно диофантово уравнение x^2+y^6=20062006

[ОЛЬГА1313]

Доказать, что при всех целых $x$ и $y$ уравнение $x^2+y^6=20062006$ не имеет решений.

[V.V.]

ОЛЬГА1313 писал(а):

Доказать, что при всех целых х и у уравнение x^2+y^6=20062006 не имеет решений.

Проверьте, какой может быть остаток при делении на 8 у левой части уравнения.

[Xarezmi]

$x^2+y^6=20062006$ tak da? ili $x^2+y^6=2006^{2006}$?

[Xarezmi]

$x^2+y^6=20062006 , x^2+ (y^3)^2=2006$ oznchime chto $ z=y^3$ togda urvnenie takom vide : $x^2+z^2=20062006$ eto uje dokozat ne trudno , i nam dostatochno dokazat chto $x^2+z^2=20062006$ ne immiet reshenia v naturalnix chislax. 2000620006=4*5015501+2, tak chto $x,z$ nechetnie,i $x=2n-1,z=2m-1, (n,m)\in \mathbb{N} , 4n^2-4n+1+4m^2-4m+1=4*5015501+2 , (n-1)n+(m-1)m=5015501 $
$(n-1)n ,(m-1)m $ budut chetnie a ix summa toje doljno bit chetniy ,a 5015501 nechetni ,i $x^2+z^2=20062006$ ne immiet reshenia v naturalnix chislax...

[bot]

Ahoj, Xarezmi
V.V. уже писал, что достаточно рассмотреть по модулю 8. Правая часть сравнима с 6 по модулю 8, а сумма квадратов может быть сравнима только с 0,1,2,4 и 5.

А вот предложенный Вами вариант x^2 + y^6 = 2006^{2006} показался интереснее. Рванул было считать, ... ошибся, исправляюсь: сходу только сведение получается.

Факторизуем: 2006=2*17*59. Далее пользуемся спуском: если x^2 + z^2 делится на простое p=3 mod 4, то x и y оба делятся на p ... Здесь думал и конец, ан нет.
Можно ещё по двойке спуститься, но это ничего не даст. В итоге двух спусков получится лишь сведение к уравнению:

x^2 + 2^459^4y^6=17^{2006}

Похоже сейчас придёт Ольга и скажет:
- Ой, извините, я просто случайно 2006 дважды набрала.

[ОЛЬГА1313]

Похоже сейчас придёт Ольга и скажет:
- Ой, извините, я просто случайно 2006 дважды набрала.




Приду, но так не скажу. Спасибо.