Криволинейный интеграл

[Bulinator]

(Оффтоп)

ShMaxG в сообщении #164994 писал(а):

Кстати, есть еще такая идея.

Ввиду симметрии \[ \begin{gathered} x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \hfill \\ x + y + z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \] будет верно \[ \int\limits_G {x^2 ds} = \int\limits_G {y^2 ds} = \int\limits_G {z^2 ds} \].

Тогда

\[ \int\limits_G {x^2 ds} = \frac{1} {3}\int\limits_G {\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)ds} = \frac{{a^2 }} {3} \cdot 2\pi a = \frac{{2\pi a^3 }} {3} \]

Ух ты!! Мини шедевр!

[Ink_a]

Как-то ни хорошо получилось, зов о помощи остался на той стонице, незамеченный. Дублирую линк на сообщение - post371273.html?sid=1c9ce5d4f72a7910f8e8eb3b919bc1f6#p371273
Ребят, выручайте, впал в ступор, не понимаю, правильно ли я решаю.

[ewert]

Ink_a в сообщении #371273 писал(а):

. Почему 0, ведь такого быть не должно, не так ли?

Не вникал в выкладки, но и безо всякого счёта очевидно, что ничего кроме нуля получиться не может: контур симметричен относительно оси игреков, а подынтегральная функция нечётна по иксам.

Ink_a в сообщении #371273 писал(а):

Интеграл взять не получалось,

Перейдите к квадрату под корнем, используя формулу для половинного угла.

[Ink_a]

Шеф, перешел, получилось следующее

$$(t-sint)\sqrt{2-2cost}=(t-sint)2sin(t/2)$$

Дальше пробовал расскарывать скобки, преобразовывать тригонометрические функции, но привести к удобному виду не получается, может я чего не вижу или не умею( Возможно... Разве можно перемножить две функции синуса с разными аргументами? раскрыв скобки моего выражения, получается

$$2(t*sin(t/2)-sint*sin(t/2))$$

P.S. я нуп(

[ewert]

Ink_a в сообщении #371926 писал(а):

Разве можно перемножить две функции синуса с разными аргументами?

Можно. В школе обычно говорят, что произведение синусов превращается в разность косинусов. Хотя проще $\sin t$ выразить также через половинный угол.

[Ink_a]

Не получается... Преобразовал, но интеграл сложный получается, взять не получается(

[ewert]

Да тривиальный интеграл выходит. Вы б его уж хоть выписали, что ли.

[Ink_a]

$$(t-sint)2sin(t/2)=(t-2*sin(t/2)*cos(t/2))2sin(t/2)=2tsin(t/2)-4sin^2(t/2)cos(t/2)$$

Вот... и что за его брать?:)

[Утундрий]

Ink_a, не за что, а за как :) Первое - по частям, во втором - косинус под дифференциал...

[Ink_a]

Супер, день прошел не зря) Спасибо! Не увидел, что синус под дифф...

[dovlato]

В силу симметрии очевидно, что утроенный инт-л равен $3I=\int{(x^2+y^2+z^2)}ds=\int{a^2}ds=2\pi a^3$