Криволинейный интеграл

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста решить следующий криволинейный интеграл.

\[ \int\limits_G {x^2 ds} \]

, где G - окружность

\[ x^2 + y^2 + z^2 = a^2 ,x + y + z = 0 \]

. Не знаю, как лучше запараметризовать окружность.

[Алексей К.]

Предлагаю по-тупому, до акта обдумывания.
Повернуть окружность-плоскость так, чтобы нормаль к плоскости совпала с осью аппликат (z). Запараметризовать стандартно, $x=r\cos\varphi,\:y=r\sin\varphi$ и повернуть взад. Матрицу поворота в пространстве знаете?

[antbez]

Конечно же, в сферических координатах!

[Алексей К.]

Ещё вариант --- запараметризовать сферу от $(\varphi,\psi)$, поискать потом связь между $\varphi,\psi$ из условия $x+y+z=0$. Пойду теперь подумаю за кофием по-настоящему; правда, за это время всё решится, уж больно просто выглядит...

[zoo]

выразите $z$ из уравнения плоскости ,подставьте в уравнение сферы, получите уравнение эллипса в оcях $x,y$ , уравнение эллипса параметризуйте

[Алексей К.]

та, a la zoo, похоже, проще всего... запланированный акт думания отменяю.

[ShMaxG]

zoo

\[ 2\left( {x^2 + y^2 } \right) + 2xy = a^2 \]

, и

\[ \begin{gathered} x = \frac{1} {{\sqrt 2 }}a\cos t \hfill \\ y = \sqrt 2 a\frac{{ - \cos t + \sqrt {1 + 3\sin ^2 t} }} {2} \hfill \\ \end{gathered} \]

. Как-то слишком сложно, либо я не правильно х запараметризовал.

[zoo]

ShMaxG писал(а):

zoo

\[ 2\left( {x^2 + y^2 } \right) + 2xy = a^2 \]

, и

\[ \begin{gathered} x = \frac{1} {{\sqrt 2 }}a\cos t \hfill \\ y = \sqrt 2 a\frac{{ - \cos t + \sqrt {1 + 3\sin ^2 t} }} {2} \hfill \\ \end{gathered} \]

. Как-то слишком сложно, либо я не правильно х запараметризовал.

ну и цирк!
а полный квадрат выделять умеем?
$(x+\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2=\frac{a^2}{2}$
$x+\frac{1}{2}y=\frac{a}{\sqrt{2}}\cos t$
$y=\frac{2a}{\sqrt{6}}\sin t $

[Brukvalub]

Можно так:

\[ \begin{array}{l} z = - x - y \Rightarrow 2x^2 + 2y^2 + 2xy = a^2 \\ x = p + q\;,\;y = p - q \Rightarrow 6p^2 + 2q^2 = a^2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {p = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\cos t} \\ {q = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\sin t} \\ \end{array}} \right. \\ \end{array} \]

, а потом вернуться назад.

[Алексей К.]

Проекция Вашей окружности на плоскость $XY$ имеет вид $2x^2+2y^2+2xy=a^2$, или, при $x=r(\varphi)\cos\varphi$, $y=r(\varphi)\sin\varphi$, т.е. в полярных координатах --- $r(\varphi)=\dfrac{a}{\sqrt{2+\sin\,2\varphi}}$. Соотв., $x=r(\varphi)\cos\varphi$, $y=r(\varphi)\sin\varphi$, $z=-x-y=-r(\varphi)(\cos\varphi+\sin\varphi)$.

[Yu_K]

Но элемент длины дуги при такой параметризации не очень-то просто считается. Есть ответ к задаче?

[Brukvalub]

Yu_K в сообщении #164906 писал(а):

Но элемент длины дуги при такой параметризации не очень-то просто считается. Есть ответ к задаче?

Да нечего там считать. Ответ:

\[ \frac{2}{3}\pi a^3 \]

[ShMaxG]

Всем спасибо! Все решилось.

[ShMaxG]

Кстати, есть еще такая идея.

Ввиду симметрии

\[ \begin{gathered} x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \hfill \\ x + y + z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]

будет верно

\[ \int\limits_G {x^2 ds} = \int\limits_G {y^2 ds} = \int\limits_G {z^2 ds} \]

.

Тогда

\[ \int\limits_G {x^2 ds} = \frac{1} {3}\int\limits_G {\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)ds} = \frac{{a^2 }} {3} \cdot 2\pi a = \frac{{2\pi a^3 }} {3} \]

.

[Ink_a]

Ребята, подскажите, что не так в ходе моего решения.
Условие. Вычислить

$$\int\limits_{L}xydl$$

, где L - контур треугольника с вершинами A(-1,0), B(1,0), C(0,1).
Ход решения. Построил треугольник. Нашел уравнение линий AC: y1=1+x, BC: y2=1-x; т.к. треугольник находится по разные стороны оси ординат разбиваю на два отрезка. Нахожу

$$dl1=\sqrt{1+(y1')^2}dx=\sqrt{2}dx$$

и

$$dl2=\sqrt{1+(y2')^2}dx=\sqrt{2}dx$$

В результате имею следущее выражение интегрирую по x,

$$\sqrt{2}\int\limits_{-1}^{0}x(1+x)dx+\sqrt{2}\int\limits_{0}^{1}x(1-x)dx=0$$

Пожалуйста, подскажите, где допускаю ошибку... Почему 0, ведь такого быть не должно, не так ли?

Другая задача тоже не далась(
Условие. Найти координаты центра тяжести (Xc) однородной дуги циклоиды x=t-sint, y=1-cost $(0\leqslant t \leqslant pi)$
Ход решения. Xc=Sy/m,

$$Sy=\int\limits_{L}x\gamma(x;y)dl$$

,

$$m= \int\limits_{L}dl$$

Нахожу длину дуги следующим образом,

$$dl=\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt=\sqrt{2-cost}dt$$

Подставляя полученное в формулу Sy, получаю выражение,

$$Sy=\int\limits_{0}^{pi}(t-sint)\sqrt{2-2cost}dt$$

Интеграл взять не получалось, где ошибка? Подскажите, пожалуйста.