Неоднородное линейное ОДУ с постоянными коэффициентами

[Pypuk]

Найти общее решение линейного неоднородного дифура второго порядка с пост коэффициентами методом неопределенных коэффициентов
$y``+6y`+13y=e^-^3^xcos2x-x^2 $

Добавлено спустя 15 минут 20 секунд:

Получается так
$y``-6y`+13y=0 $-однородное уровнение
$p^2+6p+13=0$
$D=36-4*13=-16 $
$p=\frac{-6+-4i}{2} $
$-3+- 2i$
$a=-3 $
$b=2 $
ФСР:$y_1=e^-^3^x$ $y_2=xe^2^x $
$ y_o_o=C_1e^-^3^x+C_2xe^2^x$
$f(x)=e^-^3^xcos2x-x^2 $
Что сделать дальше ?

[ShMaxG]

Общее решение однородного найдено неправильно.

[Pypuk]

В чем ошибка ?

[ShMaxG]

\[ y_{oo} = C_1 e^{\left( { - 3 + 2i} \right)x} + C_2 e^{\left( { - 3 - 2i} \right)x} = e^{ - 3x} \left( {A\cos 2x + B\sin 2x} \right) \]

.

Добавлено спустя 3 минуты 43 секунды:

"Найти общее решение линейного неоднородного дифура второго порядка с пост коэффициентами методом неопределенных коэффициентов" - достаточно типичная задача, посмотрите книги.

[Pypuk]

А не так случаем получиться должно ?
$ y_o_o=C_1e^-^3^xcos2x+C_2e^-^3^xsin2x $

[ShMaxG]

Ну а чем отличается мое выражение от Вашего?

[ewert]

тем, что у Вас константы нехорошо записаны -- особенно учитывая, что предстоит ещё метод неопределённых коэффициентов

[Pypuk]

Какого вида получится частное решение ?

[ewert]

того же примерно вида, что и правая часть, но -- с максимально общими многочленами (и с максимально общими комбинациями синусов и косинусов). И -- в одном из слагаемых следует учесть резонанс.

А вообще-то посмотрите в учебнике.

[Pypuk]

беру частное решение в виде
$Ax^2+Bx+C$
после подстановки в уравнение:
$2A+6(2Ax+B)+13(Ax^2+Bx+C) = 13Ax^2+(12A+13B)x+(2A+6B+13C) = -x^2$

$\left\{ \begin{array}{l} 13A=-1,\\ 12A+13B=0,\\ 2A+6B+13C=0,\\ \end{array} \right. $
т.е.
$A=-1/13, B=\frac{12}{(13^2)}=12/169, C=\frac{-46}{(13^3)}=-46/2197$

$y2'=-x^2/13+12x/169-46/2197$
$y1'=Axe^-^3^xcos(2x)$
$-4Ae^-^3^xcos(2x)=e^-^3^xcos(2x)$
$A=-1/4$
$y1'=-1/4xe^-^3^xcos(2x)$
$y2'=-x^2/13+12x/169-46/2197$

[antbez]

А как же Вы забыли про косинус и экспоненту в частном решении неоднородного ДУ?

[Pypuk]

Хде ?

[antbez]

Ну у Вас же не только полином в правой части...

[ewert]

Pypuk писал(а):

$y1'=Axe^-^3^xcos(2x)$

Во-первых, понять это и последующее практически невозможно. Во-вторых, о чём-то можно всё-таки догадаться, так вот:

независимо от конкретного вида правой части, в решении следует предусмотреть на равных правах как косинус, так и синус.

[Pypuk]

Возникло затруднение:
частное решение неопределенного дифура $y''+6'+13y=e^{-3x}cos2x-x^2 $ получил :
$y_{ch.n.}=xe^{-3x}(Asin2x+Bcos2x)+Cx^2+Dx+G $
Подскажите, как найти коэффициенты A,B,C,D,G.