Геометрия. Площадь. 9ый класс.

[597400]

Дан параллелограмм AFNM. На диагонали отмечена произвольная точка К. EK параллельна FH, KH параллельна EF.
Доказать, что площади треугольников AEK и KNH равны.

Заранее спасибо!!!!! [/list]

[voroninv]

597400 в сообщении #164049 писал(а):

На диагонали отмечена произвольная точка К.

На какой из диагоналей?

И что за точки E и F, мы же не экстрасенсы, чтобы угадывать!

[597400]

на диагонали MF.
KE параллельна FN и Е принадлежит FN.
КН параллельна АF и Н принадлежит АF.

[voroninv]

597400 в сообщении #164065 писал(а):

KE параллельна FN и Е принадлежит FN.

КН параллельна АF и Н принадлежит АF.

Так параллельные линии не пересекаются же

[597400]

Н принадлежит FN, а Е принадлежит AF.
ИЗВИНЯЮСЬ!!!!!=)

[voroninv]

Углы E и H в этих треугольниках равны. Если выписать формулы для их площади (через синус угла), приравнять эти формулы и сократить, то получится соотношение типа a \cdot b=c \cdot d
Остаётся найти нужные подобные треугольники...

[Батороев]

Рассмотрите все получившиеся параллелограмы, имея в виду, что диагональ делит параллелограм на две равные по площади части.

[voroninv]

Батороев писал(а):

Рассмотрите все получившиеся параллелограмы, имея в виду, что диагональ делит параллелограм на две равные по площади части.

Ну да, так поизящнее решение будет

[BVR]

Если AFNM квадрат, то утверждение очевидно.
А квадрат и параллелограмм аффинно эквивалентны и отношения площадей соответственных частей у них одинаково.
Но в школе не проходят аффинные преобразования, да?

[voroninv]

BVR в сообщении #164640 писал(а):

Но в школе не проходят аффинные преобразования, да?

Нет, конечно. Хотя смотря в каких школах...

[Батороев]

Вспомнил симпатичную задачу из 9-го класса.
Думаю, школьникам пригодится для закрепления материала по рассматриваемой теме.

Дан произвольный выпуклый четырехугольник. Доказать, что отрезки прямых, соединяющих середины противоположных сторон, в точке пересечения делятся пополам.

[Батороев]

Батороев писал(а):

Дан произвольный выпуклый четырехугольник. Доказать, что отрезки прямых, соединяющих середины противоположных сторон, в точке пересечения делятся пополам.

Надеюсь, что многие правильно решили эту задачу, но если есть те, кто не справился, то им, думаю, узнать решение будет тоже полезно.

Если на серединах сторон, как на вершинах, построить новый четырехугольник, то он будет параллелограмом, т.к. любые две его противоположные стороны равны и параллельны (как средние линии треугольников, на которые разбивает исходный четырехугольник любая его диагональ).
У параллелограма диагонали в точке пересечения делятся пополам.

[Azog]

коллена Батороев, и не стыдно вам такие [:|||||:] вспоминать?)

Очевидным образом четырехугольник из середин сторон четырехугольник - параллелограмм. Дальше ясно.

[Батороев]

Azog писал(а):

коллена Батороев, и не стыдно вам такие [:|||||:] вспоминать?)

Очевидным образом четырехугольник из середин сторон четырехугольник - параллелограмм. Дальше ясно.

Сир!
На что Вы осирчали?
Задачка то школьникам предназначалась. Она и есть школьная.

[voroninv]

Батороев в сообщении #165570 писал(а):

Надеюсь, что многие правильно решили эту задачу

Эх, а я вот не решил что-то Прикольная задачка и решение тоже