Числа, делимость

[Pythagor]

For any natural number $N$, exist such natural number $M$, which only consists of numerals 0 and 1. $M$ will be devided by $N$ without reminder.

Для любого натурального числа $N$ существует такое натуральное число $M$, составленное только из цифр 0 и 1, которое делится без остатка на $N$

[maxal]

Пусть $N = n\cdot 2^k\cdot 5^t$, где $НОД(n,10)=1$.
Тогда $M = \frac{10^{\varphi(9n)} - 1}{9}\cdot 10^{k+t}$ - искомое.
Здесь $\varphi()$ - функция Эйлера.

[Pythagor]

maxal писал(а):

Пусть $N = n\cdot 2^k\cdot 5^t$, где $НОД(n,10)=1$.
Тогда $M = \frac{10^{\varphi(9n)} - 1}{9}\cdot 10^{k+t}$ - искомое.
Здесь $\varphi()$ - функция Эйлера.

what do you think about devision of M by N?

[maxal]

M is divisible by n because of Euler's Totient Theorem.
and M is divisible by $2^k\cdot 5^t$ because it is a multiple of $10^{k+t}$.
Therefore, M is divisible by N.