Максимальная площадь треугольника (условная оптимизация)

[LaraKroft]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей:
Найдите максимальную площадь треугольника $ABC$, если вершина $A$ имеет координаты $(-3,5; 0)$, a вершины $B$ и $C$ лежат на окружности $x^2+y^2=1$.

Я так понимаю, что это задача на условный экстремум, поэтому её решить можно методом множителей Лагранжа. Но никак не могу сообразить, какое(ие) будет ограничение(я) (равенство(а) или неравенство(а)) на переменные функции площади треугольника.

Хотя эта задача, наверное, имеет более элегантное решение, но я пока ничего более подходящего, чем метод множителей Лагранжа, не вижу .

Буду рада любой помощи!

[VAL]

LaraKroft писал(а):

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей:
Найдите максимальную площадь треугольника $ABC$, если вершина $A$ имеет координаты $(-3,5; 0)$, a вершины $B$ и $C$ лежат на окружности $x^2+y^2=1$.

Я так понимаю, что это задача на условный экстремум, поэтому её решить можно методом множителей Лагранжа. Но никак не могу сообразить, какое(ие) будет ограничение(я) (равенство(а) или неравенство(а)) на переменные функции площади треугольника.

Хотя эта задача, наверное, имеет более элегантное решение, но я пока ничего более подходящего, чем метод множителей Лагранжа, не вижу .

Буду рада любой помощи!

Можно ограничиться (обосновать это не сложно) только рассмотрением равнобедреных треугольников (у которых основание перпендикулярно прямой 5x+3y = 0). Тогда все сведется к нахождению максимума функции одной переменной.

[ewert]

LaraKroft в сообщении #159979 писал(а):

Хотя эта задача, наверное, имеет более элегантное решение, но я пока ничего более подходящего, чем метод множителей Лагранжа, не вижу.

Элегантный (впрочем, и очевидный) подход только что предложил VAL. Его можно попробовать ещё маленько подъэлегантить, если учесть, что в точке максимума при бесконечно малом увеличении высоты треугольника плошадь бесконечно малой полоски, добавляемой к основанию, должна быть равна площади двух вычитаемых по краям бесконечно малых треугольников. Нестрого и нуждается в обосновании, конечно, но это уже (с точки зрения результата) неинтересно.

А так...

Ну введите два полярных угла, задающих вершины треугольника, лежащие на окружности. И выпишите площадь через векторное произведение. И найдите максимум функции двух переменных. И -- никаких Лагранжей.

[LaraKroft]

Спасибо! Не могли бы Вы более подробно объяснить, как можно обосновать рассмотрение только равнобедренных треугольников, и почему их основание перпендикулярно прямой именно $5x+3y = 0$.

Мне кажется, что что необходимый треугольник имеет вершины $A(-3,5; 0)$, $B(0; 1)$ и $C(0; -1)$.

[ewert]

лично я не отвечу, ибо вопрос не ко мне, но прямая -- это просто ось симметрии задачи.

(а Ваша гипотеза точно неверна, ибо не отвечает именно соображениям симметрии)

[Zai]

Tреугольник имеет вершины $A(-3.5,0 )$, $B(\cos\phi_1, \sin\phi_1)$ и $C(\cos\phi_2, \sin\phi_2)$ . Площадь треугольника $S=\frac 1 2 abs((\cos\phi_1+3.5) \sin\phi_2-(\cos\phi_2+3.5) \sin\phi_1). Это функция двух переменных. Найдите ее экстремумы.

[ewert]

<вымарано самоцензурой>

[LaraKroft]

ewert писал(а):

лично я не отвечу, ибо вопрос не ко мне, но прямая -- это просто ось симметрии задачи.

(а Ваша гипотеза точно неверна, ибо не отвечает именно соображениям симметрии)

Извините, что может быть очевидного не догоняю, но какие соображения симметрии Вы иммете ввиду?

В моей гипотезе треугольник равнобедренный и симметричный относительно оси абсцисс, просто я не знаю, если это так, как это правильно обосновать.

ewert писал(а):

Ну введите два полярных угла, задающих вершины треугольника, лежащие на окружности. И выпишите площадь через векторное произведение. И найдите максимум функции двух переменных. И -- никаких Лагранжей.

А здесь Вы не могли бы подробнее, пожалуйста.

[ewert]

LaraKroft писал(а):

В моей гипотезе треугольник равнобедренный и симметричный относительно оси абсцисс, просто я не знаю, если это так, как это правильно обосновать.

Мы с VAL ошиблись -- неправильно прочитали координаты точки.

LaraKroft писал(а):

ewert писал(а):

Ну введите два полярных угла, задающих вершины треугольника, лежащие на окружности. И выпишите площадь через векторное произведение. И найдите максимум функции двух переменных. И -- никаких Лагранжей.

А здесь Вы не могли бы подробнее, пожалуйста.

Zai подробно и написал. Только модуль с половинкой излишни, если учесть, что углы уж заведомо разных знаков.

[LaraKroft]

Цитата:

Извините, что утомляю Вас, но мне не ясен сам переход в полярные координаты, пожалуйста. Я эту задачу не из спортивного интереса решаю: надо на семинаре решить и подробно объяснить ход решения, поэтому, если не трудно, помогите.

Имела ввиду, что не ясен переход не в полярные координаты, а к полярным углам.

[Brukvalub]

Всякая точка на единичной окружности имеет координаты $(\cos \varphi \;,\;\sin \varphi )$. Далее рассмотрены два вектора, скажем АВ и АС и вычислена половина модуля их векторного произведения.

[VAL]

ewert писал(а):

LaraKroft писал(а):

В моей гипотезе треугольник равнобедренный и симметричный относительно оси абсцисс, просто я не знаю, если это так, как это правильно обосновать.

Мы с VAL ошиблись -- неправильно прочитали координаты точки.

Да уж... Вдвоем принять точку $A(-3,5; 0)$ за точку $A(-3; 5)$ - это надо ухитриться!
Впрочем, по-видимому, невнимательно прочитал координаты я, а дальше сработало внушение.

Но и в новом (т.е. старом, но новом для меня) условии проходит мое предложение: рассматривать только равнобедренные треугольники.
Допустим, сторона треугольника, являющаяся хордой, не параллельна оси ординат. Тогда рассмотрим треугольник, в основании которого лежит такая же по длине, но вертикальная хорда. У нового треугольника основание равно основанию старого, а высота больше. Значит, площадь исходного не максимальна.

[vvvv]

Проще всего, по-моему. сделать так. (конечно, если принять, что треугольник равнобедренный, но нужно обосновать)


Добавлено спустя 41 минуту 10 секунд:

Здесь рассмотрены любые треугольники.

[LaraKroft]

Спасибо за помощь, но вы не совсем правильно поняли два условие задачи: координаты вершины $A$ не $A(-3; 5)$, а $A(-3,5; 0)$; вершины $B$ и $C$ леэжат не в окружности $x^2+y^2=1$, а на ней.

[vvvv]

Я задачу понял правильно.Нарисовано полкартинки т.к.
считаем, что треугольник равнобедренный т.е. имеем симметрию.Во втором решении условие нахождения
точек на окружности соблюдаются автоматически, поскольку соблюдается основное тригогометрическое тождество!.
(У меня обозначение точек буквами не соответствует Вашему - это
получилось именно потому, что я понял суть задачи, а на обозначения не смотрел).