Функции от СВ

[mvb13]

$X$ и $Y$ независимые случайные величины и подчиняются одному и тому же закону - геометрическому с параметром p . Найти p если известно что $P\{X+Y=4\}=4/27$ , $M[X]>2 $.

У меня возниклм следующие проблемы:

(1) Как найти закон распределения $Z=X+Y$ ?
(В теории были рассмотрены только функции от случайных векторов непрерывного типа. В этом случае находилась функция распределения . Как быть в данном случае? )
(2)Как воспользоваться независимостью СВ ?

[ewert]

(2) Независимость означает, что $P(X=i,Y=k)\equiv P(X=i)\cdot P(Y=k)$. Без этой информации совместное распределение было бы попросту неопределённым.
(1) После этого $P(X+Y=4)$ выписывается просто как сумма трёх явных слагаемых, что даёт уравнение для параметра $p$.

[mvb13]

Правильно ли я понял ,что
$P(X+Y=4)$ равно например $P(X=1,Y=3)=(1-p)^2*p^2=\frac {4} {27}$

[ewert]

это ну о-о-очень например. Надо сложить все подходящие варианты.

[antbez]

Да, но почему только такая комбинация?

[ewert]

теперь, ув. mvb13, сложите две последние реплики и выведите среднее

[mvb13]

$P(X+Y=4)=\sum \limits_{k=0}^{4}P(X=k, Y=4-k)+\sum \limits_{k=0}^{4}P(X=4-k, Y=k)$
$10*(1-p)^2*p^2=\frac 4 {27}$

[ewert]

о господи. Зачем две суммы?... и почему от нуля?...

[mvb13]

Я не знаю определения $P(X+Y=4)$ и у меня не получается найти в литературе (искал в Вентцеле) ,как определяется закон распределения от вектора (там есть только определение функции распределения ,т.е. рассмотрен только случай вектора непрерывного типа).

$P(X+Y=4)=\sum \limits_{k=1}^{3}P(X=k ,Y=4-k)=3*(1-p)^2*p^2$
Так правильно?

[ewert]

так правильно
(не нужны тут никакие определения, вполне достаточно здравого смысла)

[mvb13]

Большое спасибо. С этой задачей разобрался.

Помогите ,пожалуйста, еще с такой задачей:
X и Y независимые СВ одинаково распределенные по закону R(0;a). Вычислить математическое ожидание СВ Z=min{x,y}

$$f_X(x)=f_Y(y)=\frac 1 a ,x,y \in [0,a]$$

$$f_{X,Y}(x,y)=\frac 1 {a^2}$$

(независимость СВ)

$$M[Z]=\int_0^a\int_0^a min(x,y)\frac 1 {a^2}dxdy $$

Что нужно сделать с $min(x,y)$ для того ,чтобы вычислить интеграл?

[GAA]

См. Приложение «Минимумы и максимумы» в лекциях Н.И. Черновой по ТВ.

[ewert]

mvb13 писал(а):

Большое спасибо. С этой задачей разобрался.

Помогите ,пожалуйста, еще с такой задачей:
X и Y независимые СВ одинаково распределенные по закону R(0;a). Вычислить математическое ожидание СВ Z=min{x,y}

$$f_X(x)=f_Y(y)=\frac 1 a ,x,y \in [0,a]$$

$$f_{X,Y}(x,y)=\frac 1 {a^2}$$

(независимость СВ)

$$M[Z]=\int_0^a\int_0^a min(x,y)\frac 1 {a^2}dxdy $$

Что нужно сделать с $min(x,y)$ для того ,чтобы вычислить интеграл?

Во-первых, букву $R$ принято обозначать буквой $U$, но это так, к слову.

Во-вторых, просто честно посчитайте функцию распределения величины $Z$ через площади соотв. квадратов и потом не менее честно посчитайте её характеристики -- какие угодно.

[GAA]

Во-первых R от Rectangular distribution — исключительно часто используемое название и, соответственно, обозначение.

Во-вторых, теорию учить полезно. Это пока у нас две, три одинаково распределенные величины интегрировать легко и приятно. Меня в детстве заставляли интегрировать в n-мерном случае. Но я физик — физикам надо. А вот экономистам или биологам...
Наталья Исааковна знает и чувствует ТВ (не мне, конечно, оценивать её знания). Её лекции по ТВ очень хороши! А читать хорошие книги и лекции очень даже полезно и увлекательно. mvb13, качайте лекции в pdf-файле, читайте и наслаждайтесь!
Конечно, если Вы студент математической специальности, тогда грызите Ширяева.

[ewert]

да попросту равномерное распределение -- это откровенно униформное, а вовсе не какое-то там ректиангулярное; и с какой стати тут ваще какие-то ангуляры?...