Интеграл

[ewert]

Vladimir83 писал(а):

\[ \int\limits_0^\infty {x \cdot e^{(a \cdot x - b)^2 } } dx \]

В справочнике табличных интегралов я его тоже не нашел

Добавлено спустя 58 секунд:

ewert писал(а):

можно получить сумму двух интегралов, один из которых берётся явно, а второй -- выражается через интеграл ошибок, и -- всё.

Это как?

Это так:

$\int\limits_0^\infty {x \cdot e^{(ax - b)^2 } } dx={1\over a}\int\limits_0^\infty {(ax-b) \cdot e^{(a x - b)^2 } } dx+{b\over a}\int\limits_0^\infty {e^{(ax - b)^2 } } dx$.

Последний интеграл выражается через спецфункцию

$\mathop{\mathrm{erf}}}(z)\equiv\int_0^ze^{-t^2}dt$

ну или там с точностью до констант, абсолютно общепринятого обозначения всё равно нет.

[Vladimir83]

\[ \int\limits_0^{ + \infty } {\xi \exp ( - \xi ^2 \cdot a - \xi \cdot b)d\xi } \]

Но под экспонентой совсем другое значение, мне кажется преобразование Лапласа не получится, или я не прав?

[Brukvalub]

Vladimir83 в сообщении #158942 писал(а):

или я не прав?

Думаю, что Вы не правы.

[Vladimir83]

Интеграл спецфункции я так понимаю это интеграл Эйлера-Пуассона

[ewert]

уж не знаю, как он там по фамилии, но по существу и достаточно официально он -- интеграл ошибок.

[Vladimir83]

\[ \int\limits_0^\infty {t \cdot e^{t^2 } } dt + \int\limits_o^\infty {e^t dt} \]

Это мы получим интеграл после преобразования заменив (ах-в)=t. Я так понимаю это табличные интегралы, но чему они равны я так найти и не могу

[antbez]

Раз здесь пределы интегрирования не зависят от аргумента, то какой же это интеграл ошибок? Там будет просто $\sqrt \pi$, делённый на какую-то константу...

[Brukvalub]

Vladimir83 писал(а):

\[ \int\limits_0^\infty {t \cdot e^{t^2 } } dt + \int\limits_o^\infty {e^t dt} \]

Это мы получим интеграл после преобразования заменив (ах-в)=t. Я так понимаю это табличные интегралы, но чему они равны я так найти и не могу

Вы забыли пересчитать пределы интегрирования.

[ewert]

Две ошибки. Во-первых, не пересчитаны пределы интегрирования. Во-вторых, в последнем интеграле неверный показатель.

[antbez]

Vladimir83

Записанные Вами в последнем сообщении интегралы вообще расходятся на бесконечности!

[ewert]

ага, это третья ошибка

[Vladimir83]

Коллеги, честно забыл как пересчитываются пределы интегрирования

[ewert]

Честной подстановкой: если $x=0$, то $t=$?

[antbez]

Главная ошибка даже не в пределах интегрирования, а в знаке! Упустив минус в показателе экспоненты, Вы пришли к расходящемуся интегралу, вообще не имеющему смысла!

[ewert]

забавно, но минус настолько подразумевается, что мне как-то даже не пришло в голову обратить внимание на его отсутствие