Базисы

[bot]

ewert писал(а):

Вы уверены, что именно все базисы? (не то чтоб это было трудно, но обычно ставить так вопрос не принято, поскольку бессодержательно)

Бывает такая бессодержательная задача, только термин слышал другой:

База системы векторов $A=\{a_1, \dots a_n\}$ - это максимальная линейно независимая подсистема системы $A,$ иначе говоря - базис её линейной оболочки, выбранный из самой системы $A.$

Вот, в данной задаче все базы - это любые два из данных.

[Igor999]

А если применить теорему о базисном миноре, то как можно найти все базисы столбцов матрицы?

[Brukvalub]

Igor999 в сообщении #159969 писал(а):

А если применить теорему о базисном миноре, то как можно найти все базисы столбцов матрицы?

Это как?

[ewert]

честно, не помню теорему о базисном миноре (и даже, скорее всего, никогда о ней и не слыхал). А насчёт всех базисов -- процедура тривиальна. Берём любой базис (пусть к-во его элементов равно $r$) и рассматриваем любые его $r$ независимых линейных комбинаций. Т.е., попросту говоря: составляем матрицу из соответствующих $r$ столбцов и умножаем её справа на произвольную невырожденную матрицу размера $r\times r$. В результате получим некий альтернативный базис; а совокупность того, что можно получить таким способом -- это и есть множество всех базисов.

[Igor999]

А можно ли конкретный пример?

[ewert]

а вот Ваш изначальный пример -- и вполне конкретный. Первые два столбца откровенно образуют базис (поскольку независимы, третий же -- есть их сумма). Умножаем матрицу размером $3\times2$, составленную из этих двух столбцов, справа на произвольную невырожденную матрицу $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ размера $2\times2$. И получаем ровно то, о чём я писал выше. (Ну может разве обозначения чуть другие, не проверял, ни к чему).

[Igor999]

Получается, что базисами будут только два столбца

\[ \left( \begin{gathered} a \hfill \\ c \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right) \]

и

\[ \left( \begin{gathered} b \hfill \\ d \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right) \]

. Или есть еще какие то комбинации?

[ewert]

не только, а ровно все такие столбцы и будут (при условии ненулёвости детерминанта), а больше -- никаких