Симметричная сумма

[Someone]

Б.А.Кордемский, Математическая смекалка, Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва, 1957.

Цитата:

Напишите любое целое число в 2, 3 или больше знаков. Прибавьте к нему число с переставленными цифрами. То же самое проделайте с полученной суммой. Опыт показывает, что, повторяя эти действия некоторое число раз, вы непременно в каком-либо из результатов получите число, которое одинаково читается слева направо и справа налево.

Несколько примеров:
38+83=121;
139+931=1070, 1070+0701=1771;
48017+71084=119101, 119101+101911=221012, 221012+210122=431134.

Иногда для достижения симметричного результата приходится делать большое число шагов. Если, например, вы начнёте с числа 89, то ожидаемый результат получится не скоро. Только 24-й шаг приведёт к симметричному результату: 8813200023188.

Убедитесь!

А может быть, найдётся и такое число, которое никогда не приведёт к симметричному результату? Повидимому, нет, но это никем ещё не доказано!

Интересно, за прошедшие после 4-го издания 49 лет что-нибудь в этом вопросе изменилось?

[tolstopuz]

Someone писал(а):

Интересно, за прошедшие после 4-го издания 49 лет что-нибудь в этом вопросе изменилось?

Кардинально - ничего.
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-ma ... indrom.196
http://p196.org

[juna]

В рамках данной тематики интересно также следующее: неуничтожимым назовем число, которое при возведении в любую степень себя повторяет в конце. Такие число есть, вот факты:
....6259918212890625
....3740081787109376
Интересно, всегда ли цифры будут идти неповторяясь или существует период?

[Руст]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

....6259918212890625
....3740081787109376
Интересно, всегда ли цифры будут идти неповторяясь или существует период?

Что значит не повторяясь? В первом числе две девятки подряд считается повторением?
Так может случится повтор и целого куска. А если вопрос нет ли периода, т.е. повтор одного и того же куска бесконечное число раз без промежутков, то этот вопрос простой. Периода нет.

[Руст]

Эти числа можно было написать так:
$x_1=5^{2^k} (mod \ 10^{k+2}), \ x_2=1-x_1$. Точнее предел этих чисел в 10-адическом кольце (с делителями нуля) при k стремящимся к бесконечности.

[juna]

Спасибо за заметку.
То, что периода не существует, можно доказать так: пусть существует, тогда существует рациональная дробь p/q<1 содержащая в своем периоде все неунечтожимое число, но тогда по определению данная дробь в квадрате должна повторить себя, что невозможно.
То, что число ..6259918212890625 есть окончание от 5 в степени 2^k стало небольшим откровением. Однако данный метод не позволяет на практике вычислить цифру 1000 разряда числа ..3740081787109376. Есть основания считать что она равна 8. и т.д.

[Someone]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

То, что периода не существует, можно доказать так: пусть существует, тогда существует рациональная дробь p/q<1 содержащая в своем периоде все неунечтожимое число, но тогда по определению данная дробь в квадрате должна повторить себя, что невозможно.

Не понял. Нельзя ли поподробнее?

Артамонов Ю.Н. писал(а):

То, что число ..6259918212890625 есть окончание от 5 в степени 2^k стало небольшим откровением. Однако данный метод не позволяет на практике вычислить цифру 1000 разряда числа ..3740081787109376. Есть основания считать что она равна 8. и т.д.

Ну почему же? Если программируете на C или C++, берите какую-нибудь библиотеку, ориентированную на теорию чисел, например, NTL (WinNTL) или GMP, пишите простенькую программку и вычисляйте на здоровье. Думаю, !000 разрядов на современном компьютере можно вычислить за секунды, 100000, вероятно, за десятки минут или часы.

[Someone]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

В рамках данной тематики интересно также следующее: неуничтожимым назовем число, которое при возведении в любую степень себя повторяет в конце.

Элементы, удовлетворяющие условию $x^2=x$, называются идемпотентами. В кольце 10-адических чисел четыре идемпотента: 0, 1 и указанные Вами. Как видим, в кольце квадратное уравнение может иметь больше двух корней.

[juna]

Пусть период существует, т.е. с какого-то момента все цифры начинают повторяться вновь, пусть период это кусок цифр abcd..z. Т.е получаем неуничтожимое число (по-Вашему идемпотент) вида .....abcd..z abcd...z . Ясно, что существует такая рациональная дробь, именно abcd..z/999999( девяток столько, сколько цифр в периоде), которая в десятичном разложении даст 0,abcd..zabcd..z....<1 Возводим ее в квадрат, по определению раз число abcd..zabcd..z.... неуничтожимо, то оно повторит себя в этом периоде, значит квадрат дроби равен ей самой, что ложь.
По поводу компьютерных вычислений, я указал на практическую нецелесообразность использования обобщенной зависимости, существует более рациональный алгоритм. В двух словах его не перескажешь.
Всех девушек форума поздравляю с 8 Марта

[Руст]

По поводу компьютерной проверку замечу, что для вычисления $5^{2^k} надо делать всего k раз возведение в квадрат. Поэтому это дает возможность просчитать даже миллионную цифру на компьютере (с учётом некоторых тонкостей вычисления) а все цифры для второго числа кроме последнего получаются как 9 - соответствующая цифра первого числа.

[Someone]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Пусть период существует, т.е. с какого-то момента все цифры начинают повторяться вновь, пусть период это кусок цифр abcd..z. Т.е получаем неуничтожимое число (по-Вашему идемпотент) вида .....abcd..z abcd...z . Ясно, что существует такая рациональная дробь, именно abcd..z/999999( девяток столько, сколько цифр в периоде), которая в десятичном разложении даст 0,abcd..zabcd..z....<1 Возводим ее в квадрат, по определению раз число abcd..zabcd..z.... неуничтожимо, то оно повторит себя в этом периоде, значит квадрат дроби равен ей самой, что ложь.

Нет, числа ...abcd...zabcd...z и 0,abcd...zabcd...z... умножаются по-разному. Во всяком случае, мне всё-равно непонятно, как из идемпотентности первого следует идемпотентность второго.

[Руст]

Доказательство Артомонова конечно не совсем корректно. Я имел в виду (когда говорил, что просто доказать) примерно следующее (почти совпадающее с док. Артомонова). Если n значное число а имеется в периоде, и если конец числа х есть b, то умножив равенство на (10^n-1) в квадрате из x(x-1)=0 (mod 10^(kn)) получаем
$(b(10^n-1)-a)[b(10^n-1)-a-1]=0 (mod \ 10^{kn})
при любом достаточно большом k. Это приводит к тому, что один из сомножителей равен 0. Случай b равен нулю сразу приводитк противоречию. А случай b не равный нулю (не чистый период) посложнение.

[maxal]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

В рамках данной тематики интересно также следующее: неуничтожимым назовем число, которое при возведении в любую степень себя повторяет в конце. Такие число есть, вот факты:
....6259918212890625
....3740081787109376

Такие числа называются автоморфными.

[juna]

1.По-поводу своего доказательства, признаюсь - согрешил немного в стиле Г. Кантора, хотелось красоты и простоты.
2.По-поводу ссылки на mathworld.wolfram.com, спасибо – ничто неново под луной. Оказывается, все начиналось в далеком 68 г.
3.Для поддержания дискуссий по теме некоторых инвариантных свойств чисел, предлагается вынести на повестку дня следующий вопрос: давно в какой-то занимательной книжке прочитал следующее определение – абсолютно простым числом называется простое число, если при любой перестановке его цифр снова получается простое число. Там же было доказано, что абсолютно простое число может состоять не более чем из трех различных цифр. Из сотни абсолютно простыми будут: 13(31), 17(71), 37(73), 79(97), 11. Помню, что после некоторых изысканий я доказал более сильное предложение – абсолютно простое число может состоять не более чем из двух различных цифр, а ровно из двух различных цифр их конечное множество. Но мне мое доказательство не нравилось – слишком громоздко. Может кто-нибудь, обладающий большим опытом, искусством, знаниями получит элегантное доказательство? Конечно, этот вопрос по большей части праздный и элементарный. Но вот вопрос конечно ли число простых чисел из одной цифры совершенно нетривиален, например 11, а дальше …и т.д.

[Руст]

Последний вопрос эквивалентен конечно ли обобщённые простые Мерсена вида $\frac {k^p-1}{k-1}$. В нашем случае система исчисления k=10. Но тут пока есть только вероятностные соображения, о том что их бесконечно.