Симметричная сумма

[juna]

Кстати, всегда было интересно, на чем основаны эти вероятностные утверждения. Например, рассмотрим простые числа из одних только единиц. Первое число, которое нам встретится это 11, далее 1111111111111111111, далее 11111111111111111111111. Поищите дальше, вплоть до 100 единиц ничего не найдете. Казалось бы, факты убеждают нас в обратном – такие числа – редкость. Но математики упрямо убеждены, что их бесконечно видимо лишь потому, что натуральный ряд бесконечен. Следующий пример – числа Ферма – ведь, кроме известных, вообще не найдено ни одного (хотя в данном случае никто и не утверждает, что их бесконечно много).
Раз уж речь зашла о вероятностных доказательствах, то возьмем гипотезу Эйлера - любое четное представимо суммой двух простых. По крайней мере, с точки зрения теории вероятностей, данная гипотеза очень правдоподобна. Действительно, элементарно ее можно преобразовать в следующее утверждение: для любого N всегда существует такое k, что N-k и N+k – одновременно простые числа. Теперь, если берем отрезок длины 2N, случайным образом отмечаем на нем целочисленные точки, разрезаем его пополам и подставляем конец первого к началу второго, то вероятность, что встретится хоть одно взаимное совпадение отмеченных точек будет стремиться к единице при любом случайном законе распределения и N, стремящимся к бесконечности. Однако для чисел Мерсена, Ферма и т.д. таких вероятностных построений я привести не могу.

[maxal]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Кстати, всегда было интересно, на чем основаны эти вероятностные утверждения. Например, рассмотрим простые числа из одних только единиц. Первое число, которое нам встретится это 11, далее 1111111111111111111, далее 11111111111111111111111. Поищите дальше, вплоть до 100 единиц ничего не найдете.

Дальше идет число из 317 единиц, потом из 1031, из 49081, из 86453 и т.д. (последовательность A004023 в OEIS).

[juna]

То, что математики коллекционируют факты - это хорошо. Но мой вопрос в том, а можно ли дать действительно корректное вероятностное рассуждение всем эти предчувствиям. Например, рассмотрели ряд из обратных простых близнецов - сходится - уже что-то.

[maxal]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

а можно ли дать действительно корректное вероятностное рассуждение всем эти предчувствиям

Что значит корректное? Все вероятностные рассуждения строятся на предположении некоторого распределения. Если предположение правдоподобно, то и результаты таковы.

[juna]

Формулирую вопрос без лирики.

Цитата:

Последний вопрос эквивалентен конечно ли обобщённые простые Мерсена вида . В нашем случае система исчисления k=10. Но тут пока есть только вероятностные соображения, о том что их бесконечно.

Что это за соображения?